Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Метод проецирования Способы задания плоскости на эпюре Примеры позиционных и метрических задач на плоскость Метод плоско-параллельного перемещения Пересечение поверхностей призм и пирамид Геометрические основы теории теней

Начертательная геометрия Методы проецирования Аксонометрические проекции

Для получения изображения в определенной проекции необходимо рассчитать координаты проекции. Из них можно получить координаты для графического устройства - назовем их экранными координатами. Для синтеза изображения на плоскости достаточно двумерной системы координат. Однако в некоторых алгоритмах визуализации используются трехмерные экранные координаты, например, в алгоритме Z-буфера.

Касательные плоскости к не линейчатым поверхностям с эллиптическими точками.

Для построения касательной плоскости в заданной точке поверхности вращения, прежде всего, необходимо через заданную точку провести по поверхности две кривые линии. Касательные прямые к ним и определяют искомую касательную плоскость. За кривые линии обычно принимают параллель (окружность) и меридиан.

Пример 5. Построить плоскость касательную к тору в точке D. (рис. 10.9)

Рисунок 10.9

Рассмотрим алгоритм решения:

1. Через точку D (D1,D2) проводим параллель радиуса r и горизонтальную проекцию меридиана S1D1

2. Проводим касательную к параллели D2t2║X, D1t1S1D1.

3. Горизонтальная проекция касательной l1 совпадает с горизонтальной проекцией меридиана S1D1≡l1.

4. Для построения фронтальной проекции касательной l2 , меридиональную плоскость Р 1 , проходящую через точку D, повернем вокруг вертикальной оси в положение Р1║П2, то есть до совмещения с главным меридианом . Точка D при этом займет положение D`1, D`2.

5. Проводим через проекцию D`2 касательную к главному меридиану (l`2C2D`2) и продолжим ее до пересечения с осью в точке К2 . Эта касательная является в то же время и линией наибольшего ската (Л.Н.С.) касательной плоскости.

6. При возвращении плоскости Р в первоначальное положение точка К остается неподвижной.

7. Соединив К2 и D2 получим фронтальную проекцию касательной l (l2).

8. Две пересекающиеся касательные t и l определяют единственную плоскость к тору в точке D.

Пример 6. Построить плоскость касательную к сфере в точке А на ее поверхности. (рис. 10.10)

Рисунок 10.10

Известно, что радиус сферы СА, проведенный в точку касания, является нормалью сферической поверхности. Поэтому задача сводится к построению плоскости перпендикулярной радиусу СА.

Строим плоскость, задавая ее горизонталью ht и фронталью fl, перпендикулярными к радиусу СА (f2l2C2A2, h1t1C1A1).

Эти пересекающиеся прямые t∩l и определяют плоскость, касательную к сфере в точке А.

Пример 7. Построить плоскость касательную к сфере и проходящую через точку S, не принадлежащую поверхности сферы. Точка S расположена в горизонтальной экваториальной плоскости сферы. (рис.10.11)

Рисунок 10.11

1. Через точку S вне поверхности сферы можно провести множество плоскостей касательных к сфере. Поверхностью, огибающей это семейство плоскостей, является некоторая коническая поверхность взаимокасательная со сферой.

2. Эта коническая поверхность, описанная вокруг сферы, касается ее по окружности взаимокасания 1-3-2-4SC. Поэтому любая плоскость, которая касается конуса по образующей, будет касаться и сферы в единственной точке, общей для конуса и сферы и лежащей на окружности взаимокасания.

3. Задача в данном варианте имеет бесчисленное множество решений (если нет ограничивающих условий).

4. Из проекций заданной точки S (S1,S2) проводим касательные к окружностям экватора и меридиана сферы. Получаем точки 1, 2, 3, 4.

5. Горизонтальная проекция окружности взаимокасания проецируется в отрезок прямой 1121S1C1 (так как ось вращения SС║П1).

6. Фронтальной проекцией окружности взаимокасания является эллипс, малая ось которого отрезок 1122, а большая ось – фронтальная проекция 5262 диаметра окружности параллельного плоскости П2 (5262=1121).

7. промежуточные точки эллипса определяются с помощью параллелей сферы Т, Р… (точки 7,8,9,10).

8. Любая касательная плоскость к сфере задается образующей и касательной к окружности основания вспомогательного конуса. Например, плоскости R и Q являются касательными к сфере через точку S. (R и QП1)

9. Другие касательные плоскости легко построить, если ось вращения вспомогательного конуса SC сделать проецирующей (метод перемены плоскостей проекций), а затем решать как в примере 10.6.

10.1.3. Касательные плоскости к линейчатым поверхностям с гиперболическими точками.

У не развертывающихся линейчатых поверхностей гиперболического гиперболоида или однополостного гиперболоида - через каждую точку поверхности проходят две образующие, принадлежащие к различным семействам. Эти образующие и определяю касательную плоскость в каждой точке поверхности. Касательная плоскость, прикасаясь к поверхности в точке Е (рис. 10.12), пересекает поверхность по образующим PQ и MN, проходящим через эту точку.

Часть поверхности лежит по одну сторону касательной плоскости, а другая часть поверхности – по другую сторону. В каждой точке образующей будет новая касательная плоскость.

Рисунок 10.12

 Проекция линии пересечения  на эту плоскость, определяется на эпюре без дополнительных построений. Пусть конус вращения с вертикальной осью пересекается фронтально проецирующим цилиндром рис. 8.5. Фронтальная проекция линии пересечения известна, она совпадет с фронтальной проекцией цилиндра. Отметим опорные, характерные и вспомогательные точки. Фронтальные проекции  опорных точек 1 и 2 находим по линиям связи, проведя через них параллели. Точки 3 и 3` являются точками границы видимости линии пересечения. Найденные горизонтальные проекции точек соединяем плавной кривой.

Для центральной проекции (также называемой перспективной) лучи проецирования исходят из одной точки, размещенной на конечном расстоянии от объектов и плоскости проецирования. Для параллельной проекции лучи проецирования параллельны.
Построить собственные и падающие тени заданных призм