Интегральное исчисление Курс лекций

Графический редактор КОМПАС http://arthic.ru/

 

Интегральная сумма (сумма Римана)

База интеграла Римана

Основная теорема Лемма

Критерий Коши

Необходимое условие интегрируемости по Риману

Аддитивность интеграла по отрезку Докажем теперь теорему для случая интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока.

Пусть f определена на [a,b], FC[a,b] и F’(x)=f(x) для  x [a,b], кроме не более чем счетного множества (в точках которых F не существует или не равна f). Тогда f интегрируема на [a,b] в смысле Курцвейля-Хенстока и  – формула Ньютона-Лейбница.

Множества меры ноль по Лебегу

Примеры решения типовых задач: матрицы

Колебание функции f на множестве Е (на котором f определена) – это величина osc(f,E)=. Локальный экстремум ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Если f ограниченна и непрерывна почти всюду на [a,b], то f интегрируема на [a,b] по Риману и по Мак-Шейну. Процедуры связи

Если f интегрируема по Риману на [a,b], то Найти предел

Если f интегрируема по Риману на [a,b], то f ограничена на [a,b] и непрерывна почти всюду на [a,b].

Дополнительные свойства интеграла Римана

Верхняя мера Лебега множества ЕR – это величина , где {li}i – система интервалов.

Невырожденный отрезок не является множеством меры 0 по Лебегу.

Если f непрерывна на замкнутом множестве FR, то ее можно доопределить на R\F так, что полученная функция будет непрерывна на R..

Пусть f определена, ограничена и измерима на [a,b], тогда f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну.

Если f определена и равна нулю почти всюду на [a,b], то f интегрируема по Мак-Шейну на [a,b] и .

Если f определена, ограничена и интегрируема на [a,b] (по Риману, Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку), то ее интеграл с переменным верхним пределом .

Пусть f интегрируема по Мак-Шейну (Курцвейлю-Хенстоку) на [a,b]. Пусть для >0  (х)>0 на [a,b]:  (T,) согласованное с (х) (и с ii):  согласованного с (х) (и с ii) .

Пусть f интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на [a,b]. Тогда интеграл с переменным верхним пределом  – непрерывная на [a,b] функция.

Теорема (Витали) Пусть система невырожденных отрезков  покрывает ограниченное множество Е в смысле Витали. Тогда можно выбрать не более чем счетную систему отрезков k, которая попарно не пересекается, покрывает почти все Е и .

Следствие (Витали) Если система невырожденных отрезков  покрывает ограниченное множество Е в смысле Витали, то >0  отрезки iв конечном числе, которые попарно пересекаются и .

Если f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну, то и |f| интегрируем по Мак-Шейну на [a,b] и .

Интегралы Стилтьеса

Функции ограниченной вариации

Свойства функций с ограниченной вариацией

Если f определена на промежутке  – неубывающие функции на I.

Если .

Дополнительные свойства интегралов Стилтьеса

Теорема об интегрировании по частям

Пусть f ограниченна на [a,b], а функции  и f интегрируемы на [a,b],  – интеграл с переменным верхним пределом   интеграл .

Теорема интегрирование по частям в интеграле Римана

Теорема о замене переменных в интеграле Римана

Первая теорема о среднем

Вторая теорема о среднем

Несобственные интегралы

Теорема критерий Коши несобственной интегрируемости

Признаки сходимости

Математика решение задач