Математика Курс лекций и примеры решения задач

Локальные сети
Архитектура компьютерной сети
Сетевые операционные системы
Технология WI-FI
Угрозы и риски безопасности
беспроводных сетей
Математика
Контрольная по математике
Интегральное исчисление
Элементы теории множеств
Математический анализ
Применение производных
в исследовании функций
Аппарат дифференциальных
уравнений в экономике
Элементы линейного программирования
Динамическое программирование
Дифференциальное исчисление функций
Графические пакеты
Компьютерный монтаж
Учебник Autodesk
Mechanical Desktop
Автоматизация проектирования
Проектирование печатных плат
Вспомогательные программы
Моделирование схем
Редактирование принципиальных схем
Создание проекта в OrCAD
Учебник OrCAD
Редактирование текста
Графический редактор
Corel DRAW
Проектирование многослойных
печатных плат P-CAD
Физика решение задач
Методика решений задач по кинематике
Механика жидкостей и газов
Законы постоянного тока Колебания и волны. Переменный ток
Динамика и законы сохранения в механике
Магнитное поле, электромагнитное взаимодействие
Электростатика
Основы специальной теории относительности
Оптическая физика
Квантовая статистика
Магнитные свойства атомов
Зонная теория твердых тел
Курс лекций по атомной физике
Методика решения задач по Электростатике
История искусства;
Собор Нотр-Дам
Иллюстрированные рукописные книги
Техника темперной и масляной живописи
Иллюстрированный самоучитель
по Macromedia Flash
Учебник по схемотехнике,
Учебник PHP
Работа со строками
Создание расширений
Работа с переменными
Определение количества
аргументов
Доступ к аргументам
Установка на системах Windows
Область видимости переменной
Куки HTTP
Освобождение ресурсов
PHP-скрипты
Установка на системы UNIX
Возвращаемые функциями
значения
Замена переменных в строках
Безопасный режим
Использование функций
FAQ
Система автоматического
построения
 

 

Интегральное исчисление Курс лекций

Интегральная сумма (сумма Римана)

База интеграла Римана

Основная теорема Лемма

Критерий Коши

Необходимое условие интегрируемости по Риману

Аддитивность интеграла по отрезку Докажем теперь теорему для случая интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока.

Пусть f определена на [a,b], FC[a,b] и F’(x)=f(x) для  x [a,b], кроме не более чем счетного множества (в точках которых F не существует или не равна f). Тогда f интегрируема на [a,b] в смысле Курцвейля-Хенстока и  – формула Ньютона-Лейбница.

Множества меры ноль по Лебегу

Примеры решения типовых задач: матрицы

Колебание функции f на множестве Е (на котором f определена) – это величина osc(f,E)=. Локальный экстремум ФНП Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Если f ограниченна и непрерывна почти всюду на [a,b], то f интегрируема на [a,b] по Риману и по Мак-Шейну. Процедуры связи

Если f интегрируема по Риману на [a,b], то Найти предел

Если f интегрируема по Риману на [a,b], то f ограничена на [a,b] и непрерывна почти всюду на [a,b].

Дополнительные свойства интеграла Римана

Верхняя мера Лебега множества ЕR – это величина , где {li}i – система интервалов.

Невырожденный отрезок не является множеством меры 0 по Лебегу.

Если f непрерывна на замкнутом множестве FR, то ее можно доопределить на R\F так, что полученная функция будет непрерывна на R..

Пусть f определена, ограничена и измерима на [a,b], тогда f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну.

Если f определена и равна нулю почти всюду на [a,b], то f интегрируема по Мак-Шейну на [a,b] и .

Если f определена, ограничена и интегрируема на [a,b] (по Риману, Мак-Шейну, Курцвейлю-Хенстоку), то ее интеграл с переменным верхним пределом .

Пусть f интегрируема по Мак-Шейну (Курцвейлю-Хенстоку) на [a,b]. Пусть для >0  (х)>0 на [a,b]:  (T,) согласованное с (х) (и с ii):  согласованного с (х) (и с ii) .

Пусть f интегрируема по Курцвейлю-Хенстоку на [a,b]. Тогда интеграл с переменным верхним пределом  – непрерывная на [a,b] функция.

Теорема (Витали) Пусть система невырожденных отрезков  покрывает ограниченное множество Е в смысле Витали. Тогда можно выбрать не более чем счетную систему отрезков k, которая попарно не пересекается, покрывает почти все Е и .

Следствие (Витали) Если система невырожденных отрезков  покрывает ограниченное множество Е в смысле Витали, то >0  отрезки iв конечном числе, которые попарно пересекаются и .

Если f интегрируема на [a,b] по Мак-Шейну, то и |f| интегрируем по Мак-Шейну на [a,b] и .

Интегралы Стилтьеса

Функции ограниченной вариации

Свойства функций с ограниченной вариацией

Если f определена на промежутке  – неубывающие функции на I.

Если .

Дополнительные свойства интегралов Стилтьеса

Теорема об интегрировании по частям

Пусть f ограниченна на [a,b], а функции  и f интегрируемы на [a,b],  – интеграл с переменным верхним пределом   интеграл .

Теорема интегрирование по частям в интеграле Римана

Теорема о замене переменных в интеграле Римана

Первая теорема о среднем

Вторая теорема о среднем

Несобственные интегралы

Теорема критерий Коши несобственной интегрируемости

Признаки сходимости

Дифференциальное исчисление функций многих переменных Курс лекций

Неравенство треугольника

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца

Подмножество метрического пространства с той же метрикой – метрическое пространство

Открытый шар – открытое множество, а замкнутый шар – замкнутое множество

Точка х – предельная множества ЕM, если .

Система множеств  покрывает Е, если .

n-мерный параллелепипед   – компакт.

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Если предел последовательности an равен а, то ее подпослед Правило Лопиталя Примеры решения и оформления задач контрольной работы

В нормированном прострастве .

Последовательность an точек метрического простраства – последовательность Коши

Терема о вложенных шарах Цифровые системы передачи данных

Пример метрического простраства и последовательности замкнутых вложенных шаров в нем без общей точки

В нормированном пространстве , последовательность вложенных шаров с радиусами, не стремящимися к 0, имеет общую точку

Последовательность  – последовательность Коши   – последовательность Коши (последовательность в Rn – последовательность Коши  она последовательность Коши покоординатно).

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны

Теорема об единственности предела

Функция f из метрического пространства M в нормированное пространство N – бесконечно малая при  по множеству EM, если .

Если f и g функции, отображающие из метрического пространства M в нормированное пространство N и  .

Теорема о критерии Коши

Непрерывность функции непрерывности по Коши

Определения непрерывности функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Функция f, отображающая из метрического пространства M в метрическое пространство N, непрерывна на ЕМ, если f определена на Е и непрерывна в  точке Е по Е.

Теорма Вейерштрасса

Теорема Кантора

Теорема сжимающих отображений

Множество Е в метрическом пространстве М несвязно два непересекающихся открытых множества в М, покрывающие Е, и каждое из которых пересекается с Е

Теорема Больцано-Коши

Отрезок – непрерывная кривая

Отображение L из линейного пространства N1 в линейное пространство N2 – если из существования L(a) следует, что для R(или С, если рассматривается линейное пространство над С) и из существования L(a) и L(b) следует существование L(a+b)=L(a)+L(b).

Если отображение f из нормированного пространства N1 в нормированное пространство N2 дифференцируемо в точке оно непрерывно в точке х0.

Функция f (из Rn в R), определенная в некоторой окрестности точки , дифференцируема в точке

Функция f (из Rn в R) имеет в точке  непрерывную частную производную (первого порядка) , если  определена в некоторой окрестности точки  и непрерывна в ней. определяемая ее поверхность имеет касательную плоскость в точке .

Если функция f дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по  направлению и .

Если функция f дифференцируема в точке , а , то по направлению  производная строго наибольшая, а по направлению  производная строго наименьшая. Эти производные равны соответственно  и .

Теорема дифференцирование сложной функции

Теорема Шварца

Теорема Юнга Если функция f (из Rn в R) имеет в точке  непрерывные частные производные ,то эти частные производные совпадают.

Теорема формула Тейлора с остат. членом в форме Лагранжа

Теорема формула Тейлора с остат. членом в интегральной форме

Если функция f имеет в точке  локальный экстремум, то  ее частная производная (если ), то равна 0.

Критерий Сильвестра

Теорема о неявных функциях

Метод множителей Лагранжа

Элементы теории множеств Курс лекций

Множества и операции над ними. Основные понятия

Лемма. Пустое множество единственно

Операции над множествами

Диаграммы Эйлера-Венна

Свойства операций над множествами. Алгебра множеств

Декартово произведение множеств Изобретение парового лифта (первый образец был установлен в Нью-Йорке в 1857 г.), а вслед за ним и открытие электричества (1880 г.) практически решало проблемы подъема на большую высоту Луис Кан совершенствовал принципы развивающейся с течением времени пространственной структуры, принципы единства архитектуры и конструкции.

Отображения множеств Основные понятия

Произведение (композиция) отображений

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.

 

Обратные отображения

Мощности множеств и комбинаторика Вычислим объем шара Примеры решения и оформления задач контрольной работы

Перестановки и размещения

Сочетания

Бином Ньютона. Понятие о производящей функции

Примеры и свойства счетных множеств

Несчетные множества. Мощность континуума

Кардинальные числа. Гипотеза континуума

Основные понятия и способы задания отношений

Отношения на числовых множествах удобно иллюстрировать графически

Отношения на конечных множествах

Операции над бинарными отношениями и их свойства.

Отношения эквивалентности

Свойства классов смежности

Отношения частичного порядка

примеры

Понятие об алгебраических структурах

Примеры

Примеры

Коммутативное тело называется полем

Пусть m – натуральное число

Алгебраические структуры с тремя операциями

Элементы математической логики

Логика высказываний Понятие логического высказывания

Логические операции

Дизъюнкция высказываний

Эквиваленция высказываний

Пропозиционные формулы

Тавтологии

Равносильные формулы

Булевы функции

Представление булевых функций пропозиционными формулами

Двойственные функции. Принцип двойственности

Совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)

Полиномы Жегалкина

Полнота и замкнутость

Полные системы функций и замкнутые классы

Основные замкнутые классы

Многочлены Жегалкина первой степени

Теоремы о функциональной полноте

Базисы пространства булевых функций

Минимизация булевых функций. Постановка задачи

Метод Квайна-Макклоски

Нахождение первичных минитермов

Расстановка меток

Вычёркивание лишних строчек

Карты Карно булевой функции

пример

Карта Карно для функций пяти переменных

Реализации булевых функций

Контактные схемы

Проанализировать и упростить следующую схему

Схемы из функциональных элементов

Синтезировать логическую схему, реализующую булеву функцию

Пример . Синтез n–разрядного сумматора

Предикаты

Основные понятия и определения

Операции над предикатами

Навешивание кванторов

Равносильные формулы логики предикатов

Приведенная форма и предваренная нормальная форма предиката

Элементы теории графов

Основные определения и типы графов

Основные типы графов

Обобщения понятия графа

Изоморфные  графы

Основные числовые характеристики и матрицы графа

Степени вершин графа

Матрица смежности

Матрица Кирхгофа

Матрица инцидентности

Подграфы и операции на графах.

Пересечение графов

Маршруты в графах. Связные графы

Компоненты связности. Связность графа и его дополнения

Расстояния на графах

Метод поиска в ширину

Выяснение вопросов связности, достижимости и расстояний на графе по матрице смежности

Деревья и остовы Критерии дерева

Корневое дерево

Типы вершин дерева, радиус и центры

Остовы графа, циклический ранг и ранг разрезов

Задача о минимальном остове

Алгоритм Краскала

Разрезы графа. Фундаментальная система циклов и фундаментальная система разрезов

Линейное пространство графа

Эйлеровы и гамильтоновы  графы

Эйлеровы графы Замечания

Гамильтоновы графы

Задача о коммивояжере

Планарные графы

Вложимость графов в трехмерное пространство

Формула Эйлера

Следствия из формулы Эйлера

Гомеоморфные графы. Критерий планарности

Раскраски графов Хроматическое число графа

Задача о распределении оборудования

Хроматическое число 2–дольного графа. Критерий 2-дольности

Некоторые оценки хроматического числа

Раскраски планарных графов

Паросочетания графа

Задача о свадьбах

Теорема Холла о свадьбах

Сети Основные понятия

Потоки в сетях

Сетевое планирование

Алгоритм поиска критического пути

Резервы времени

  • Неравенство Коши-Буняковского-Шварца Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны Теорема формула Тейлора с остат. членом в интегральной форме
  • Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.
  • Формула Грина. Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости
  • Скалярное поле и его характеристики. Рассмотрим функцию U(M), зависящую от координат точки М расположенной на плоскости (МD) или в пространстве (М).
  • Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ; 2) Находим интервал сходимости этого ряда ; 3) Проверка условия lim Rn(x) = 0 при n
  • Вывод уравнения колебаний струны. Пусть свободно изгибающаяся струна имеет силу натяжения на концах - T0, r - линейная плотность струны [ г/см ] , u(x,t) – амплитуда отклонения от оси Ох , F(x,t) – линейная плотность силы, действующая на струну ^  Ох [н/см ] .
  • Скалярное поле Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.
  • Условия существования двойного интеграла Нижняя и верхняя суммы Дарбу Как и в одномерном случае, при изучении двойного интеграла существенную роль играют суммы Дарбу.
  • Двойной интеграл в полярных координатах Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид: . Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x2+y2.
  • Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  • Геометрический смысл дифференциала Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;у0). Тогда в этой точке существует дифференциал , а график функции в точке (x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением
  • Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно
  • Экономическая математика

    • Математический анализ
    • Применение производных в исследовании функций
    • Математика лекции и примеры решения задач
      • Исследование функций и построение графиков
      • Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Предыдущие главы были посвящены одной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x). Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела
      • Интегрирование по частям Пусть функции и(х) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке.
      • Основные правила интегрирования Замена переменной в определенном интеграле Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции. Физика, математика. Лекции и конспекты Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
    • Аппарат дифференциальных уравнений в экономике
      • Системы линейных алгебраических уравнений Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.
      • Метод Гаусса Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количеству вычислительной работы. Оба они требуют порядка n2n! арифметических действий для нахождения решения системы линейных уравнений
      • Элементы теории вероятностей События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным относительно комплекса условий S называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении этого комплекса условий
      • Некоторые элементы математической статистики Задачи математической статистики Первой задачей математической статистики является указание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений.
    • Элементы линейного программирования
      • Экономический анализ задач с использованием теории двойственности Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель
      • Транспортная задача — одна из распространенных задач линейного программирования. Ее цель — разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных, повторных перевозок. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий, фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д.
      • Задачи с несколькими целевыми функциями Формулировка задачи В рассматриваемых выше задачах линейного программирования математические модели имели одну целевую функцию, для которой находилось максимальное или минимальное значение экономического показателя.
    • Динамическое программирование — один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные этапы (шаги). Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития.
    • Принятие решений и элементы планирования Основные понятия теории игр В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда при наличии многих участников эффективность решения одного из них зависит от того, какие решения приняли другие участники.
    • Модель производственных запасов В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии.
  • Математика решение задач