Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Касательные напряжения при поперечном изгибе. Косой изгиб Внецентренное растяжение и сжатие Определение перемещений методом Мора Колебания системы с одной степенью свободы

Сопротивление материалов

Определение перемещений методом Мора. Работа внешних сил и потенциальная энергия при изгибе стержней и стержневых систем. Теоремы Бетти и Максвелла. Формула Мора для определения перемещений. Правило Верещагина. Основы расчета статически неопределимых балок и рам методом сил.

Определение прогиба и напряжений. Максимальное значение напряжения и прогиб, возникающие от совместного действия статических и динамических нагрузок, определяем по формулам:

кН/м2,

м.

 При коэффициенте КД=1,145 найдем также напряжение в сечении А балки АВ:

 кН/м2.

 Следовательно, полученное значение напряжения больше, чем напряжение в сеченииС, где установлен электромотор. Итак, сечение в заделке в данном примере является наиболее опасным , и, следовательно, это обстоятельство необходимо учитывать при проверке прочности составных конструкций.

 С увеличением числа оборотов двигателя возрастают динамические напряжения и прогибы балок. Поэтому при проектировании конструкций не следует допускать наступления резонанса (w=j), при котором может наступить разрушение конструкции.

8.4. Соударение твердого тела и системы
с одной степенью свободы

 Задача соударения различных механических систем часто встречается в инженерной деятельности в различных сферах, поэтому имеет большое практическое значение.

 Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел, называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается результирующая контактная сила. Хотя время действия контактной силы обычно очень мало и измеряется микро- или миллисекундами, она развивается очень быстро и принимает большие значения.

 Задача соударения твердых деформируемых тел в механике, как правило, относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содержащими в себе многие трудности математического порядка при их решении, которые не всегда могут быть преодолены простыми инженерными способами. Эти трудности в первую очередь связаны с определением с определением характера изменения функции напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают и при учете волновых процессов, возникающих, как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел. Например, дифракционных волновых процессов по контуру в зоне контакта, и интерференционных явлений внутри соударяемых тел. Здесь существенное значение приобретает и учет фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу в данном случае.

 Исходя из вышеизложенного, ниже при решении задач, применяется упрощенный инженерный подход, основанный на следующих упрощающих предпосылках.

 При взаимодействии соударяемых тел они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твердыми. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно.

 С применением энергетического подхода рассмотрим соударение падающего груза массой М с высоты h на систему с одной степенью свободы (рис.8.5). Считаем, что масса балки m сосредоточена в месте соударения.

Рис.8.5

 Энергетический подход является наиболее предпочтительным в тех случаях, когда требуется определить только максимальные значения напряжений, динамических прогибов и не ставится задача определения законов движения заданной системы.

 Составим энергетический баланс заданной системы в момент возникновения максимальных прогибов балки:

К0+П = U +К, (8.8)

где -кинетическая энергия падающего груза в момент соударения с балкой; П=(М+m)gymax-работа внешних сил на перемещение ymax; -потенциальная энергия деформации балки; К -кинетическая энергия системы при y=ymax.

 Так как в состоянии наибольшего отклонения балки, y=ymax, , то для указанного момента времени К=0. С учетом вышеизложенного (8.8) принимает вид:

, (8.9)

или

. (8.10)

Порядок расчета рамы

Определяются опорные реакции.

Простые статически определимые рамы, состоящие из жестко соединенных стержней, имеют три опорных стержня, не пересекающихся в одной точке – трехопорная рама, или одну опору с жестким защемлением - консольная рама. В трехопорной раме опорные реакции действуют вдоль опорных стержней. В консольной раме в защемлении действуют две взаимно перпендикулярные реакции и опорный момент. Направление опорных реакций (вправо, влево от сечения опорного стержня) и опорного момента выбирается произвольно. 

Для трехопорной рамы для определения опорных реакций используют уравнения моментов. Чтобы опорные реакции определялись независимо, в качестве моментных точек берут точки, где пересекаются направления двух опорных стержней (направления двух реакций). Если направления двух опорных стержней параллельны (стержни не пересекаются), то для определения третьей реакции, непараллельной им, используется уравнение проекций на ось, перпендикулярную параллельным опорным стержням.

Для определения опорных реакций консольной рамы используются уравнения проекций на взаимно перпендикулярные оси х, у и уравнение момента относительно опоры (защемления) для определения опорного момента.

Если в результате расчета реакции получаются со знаком плюс, направления реакции совпадает с принятым. При отрицательном знаке реакции, ее направление противоположно принятому.

Нумеруются характерные сечения рамы.

Характерными сечениями являются узлы рамы, а также точки приложения внешних сосредоточенных сил и моментов, точки начала и конца распределенных нагрузок. Порядок нумерации точек произвольный.

Вычисляются значения нормальных N и поперечных сил Q сил и изгибающих моментов  Мz в сечениях вокруг опорных точек.

При отсутствии распределенных продольных нагрузок вдоль стержней рамы нормальные силы на участках стержней постоянны и могут вычисляться по участкам (N = Nij, i, j – номера концов участка), т.е. без вычисления их значений в сечениях вокруг каждой характерной точки.

Для построения эпюры изгибающих моментов на участках с распределенной нагрузкой, кроме значений в на концах участков, вычисляют экстремальные значения моментах в точках с нулевым значением поперечных сил на участках (если таковые имеются), или значения моментов в серединах участков, или строят эпюры, согласуясь с эпюрой поперечных сил в соответствии с дифференциальным соотношением Журавского (3.3).

4. Проводится контроль равновесия узлов.

Для узлов рамы проводится два вида контроля: 

а) выполнение условий равновесия на действие нормальных и поперечных сил;

б) выполнение условий равновесия на действие изгибающих моментов.

Для проверки условий равновесия узел вырезается вместе с приложенными в них внешними сосредоточенными нагрузками.

При проверке выполнения условий равновесия узла на действие нормальных и поперечных сил вычерчивается узел и к нему прикладываются действующие сосредоточенные силы и нормальные и поперечные усилия положительного направления – нормальные силы направлены от сечения (в направлении оси стержня), поперечные силы перпендикулярно осям стержней так, чтобы они вращали узел по часовой стрелке. Выписываются значения нормальных и поперечных сил с учетом знака (значение и знак усилия берутся из эпюр нормальных или поперечных сил соответственно. Составляются условия равновесия узла (рис.3.4,а):

 

где  - суммы проекций всех сил действующих в узле (внешних и внутренних) на взаимно перпендикулярные оси х и у (направление осей произвольно).

При проверке выполнения условий равновесия узла на действие моментов вычерчивается узел и к каждому стержню прикладываются действующие изгибающие моменты (рис. 3.4,б). Направление действия момента принимается так, чтобы он растягивал волокно стержня соответственно эпюре изгибающих моментов. Направление моментов на рис 3.4,б условно принято: на правом и левом стержнях растянуто нижнее волокно, на верхнем и нижнем стержнях растянуто волокно слева от оси стержня. К узлу прикладывается также внешний момент, если он имеется в узле рамы, условие выполнения равновесия которого проверяется. Выполняют проверку выполнения равновесие узла 

 .

На рис. 3.4 индексы - Л, П, В, Н при внутренних усилий обозначают, что сечение проведено в стержнях слева, справа, выше или ниже от характерной точки (узла). При наличии наклонных стержней можно использовать двойную индексацию – ЛВ, ПН и т.д.

В узлах, где сходятся только два стержня и нет внешнего момента, выполнение равновесия узла на действие изгибающих моментов проводится наиболее просто – значения изгибающих моментов в сечениях двух сходящихся стержней узла рамы равны и растягивают волокна их внутренних или внешних волокон одновременно. Значения моментов на эпюре откладываются либо внутри, либо снаружи угла рамы.

Пример расчета трехопорной рамы

Для рамы, приведенной на рис 3.5., построить эпюры внутренних усилий: нормальных сил N, поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

Определить динамический прогиб и напряжения в опасных сечениях балок КD и АВ, возникающих под действием работающего электромотора весом G=10кН (рис.8.4,а).

Для вычисления полного перемещения сеченияС с учетом характера опирания балкиКD на консольную балку необходимо найти  прогиб консольной балки АВ от действия на нее силы РK=-RK=5кН.

Величина d11-прогиб, который получила бы балка под действием единичной статической силы, приложенной в месте удара.

Определение полного статического прогиба сеченияС балки КD. С начала определим статический прогиб сечения С балки КD при опирании ее на абсолютно жесткое основание.

Определение динамических коэффициентов и напряжений. Динамический коэффициент при падении груза G на балкуКD, опирающуюся на консольные балкиАК и DМ, определяем по формуле:.

Прочность при циклических нагрузках Основные характеристики цикла и предел усталости.

Расчет балок на упругом основании. Понятие о сплошном упругом основании. Модель основания Винклера. Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании. Расчет бесконечно длинных и полубесконечных балок на упругом основании.
Определение прогиба и напряжений