Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Касательные напряжения при поперечном изгибе. Косой изгиб Внецентренное растяжение и сжатие Определение перемещений методом Мора Колебания системы с одной степенью свободы

Сопротивление материалов

Определение перемещений методом Мора. Работа внешних сил и потенциальная энергия при изгибе стержней и стержневых систем. Теоремы Бетти и Максвелла. Формула Мора для определения перемещений. Правило Верещагина. Основы расчета статически неопределимых балок и рам методом сил.

Колебания системы с одной степенью свободы

  Рассмотрим систему, изображенную на рис.8.2. Пренебрегая массой и продольными деформациями консольного бруса, рассмотрим колебания массы m, закрепленной на свободном конце бруса, при действии силы Р(t), изменяющейся по гармоничному закону по времени t :

Р(t)=Р0sinwt, (8.1)

Рис.8.2

где Р0-амплитуда или максимальное значение силы Р(t), а w-круговая частота ее изменения.

 При составлении уравнения движения массы m введем в рассмотрение силу инерции PИН=-m, силу сопротивления РC=-a, всегда направленную против движения системы (где a-коэффициент затухания) и внешнюю силу Р(t). Перемещение y(t) в любой момент времени можно определить из уравнения:

. (8.2)

где d11-перемещение массы m по вертикали под действием вертикальной единичной силы.

 Отметим, что природа сил сопротивления может быть результатом сопротивления внешней среды или внутреннего трения, возникающего в частицах материала конструкции при деформации системы. Принимаем обозначения:

, (8.3)

где j-частота собственных колебаний конструкции, n-коэффициент затухания. Тогда уравнения движения (8.2) принимает следующий вид:

. (8.4)

 Решение (8.4) при начальных условиях t=0, y=y0, , с учетом n<j, принимает вид:

. (8.5)

 Здесь приняты следующие обозначения:

-амплитуда собственных колебаний системы;

-собственная частота колебаний системы с учетом сил затухания; -сдвиг фазы по времени, возникающий при собственных и вынужденных колебаниях, соответственно;

 (8.6)

-называется коэффициентом динамичности, он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением возмущающей статической силы.

На основании изложенных обстоятельств и с учетом того, что в задаче о краевом эффекте нагрузка отсутствует, уравнения равновесия принимают такой вид:

 (127)

Геометрические уравнения преобразуем введением новой переменной – угла   поворота нормали к меридиану после деформации (рис. 31).

Рис. 31

При этом приращения кривизны (124), (125) можно выразить через   так:

.  (128)

Для определения  рассмотрим элемент меридиана (рис. 31). Из криволинейного треугольника  вытекает, что до деформации

. (129)

Соответственно, после деформации из треугольника , находим

.

Преобразуем полученное уравнение:

или с учетом того, что , , , а также (129), имеем:

.

Отсюда

.

Границы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского.

При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0< l<40¸50, стержень настолько “короток”, что его разрушение происходит по схеме сжатия, следовательно, критические напряжения можно приравнять в этом случае к пределу пропорциональности.

Несмотря на простоту выражения (7.19) расчет сжатых стержней производится, как правило, в несколько этапов. Это связано с тем, что величина j зависит от формы и размеров сечения, поэтому не может быть назначена заранее.

Подбор сечения стойки из двух швеллеров. При рассмотрении этого вопроса составное сечение стойки следует рассматривать как цельное, и поэтому расчет приведенной гибкости можно не выполнять.

Момент инерции поперечного сечения стойки из двух швеллеров относительно оси x:  Момент инерции составного сечения относительно оси y можно изменять, сближая или удаляя швеллеры один относительно другого.

Замена в узлах машин трения скольжения трение качения Такая замена во многих случаях целесообразна с точки зрения повышения надежности работы деталей и экономичности машин.

График b в зависимости от отношения частот и параметра затухания n приведен на рис.8.3. Откуда следует, что при w®j Р0d11b, т.е. амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при n®0, w®j, получаем Р0d11 b®¥.

Расчет балок на упругом основании. Понятие о сплошном упругом основании. Модель основания Винклера. Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании. Расчет бесконечно длинных и полубесконечных балок на упругом основании.
Определение прогиба и напряжений