Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Касательные напряжения при поперечном изгибе. Косой изгиб Внецентренное растяжение и сжатие Определение перемещений методом Мора Колебания системы с одной степенью свободы

Сопротивление материалов

Связь между напряжениями и деформациями. Обобщенный закон Гука. Различные формы записи обобщенного закона Гука. Закон Гука для двухосного напряженного состояния. Потенциальная энергия деформации.

Определение перемещений методом Мора

 Суть метод Мора в следующем. Если необходимо определить перемещение в заданной точке по заданному направлению, то наряду с заданной системой внешних сил в этой точке прикладывается внешнее усилие Ф=1 в интересующим нас направлении.

 Далее составляется выражение потенциальной энергии системы, состоящей из n участков с учетом одновременного действия заданной системы внешних сил и силы Ф:

 (6.1)

,

где Кх, Ку-безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения и учитывают неравномерность распределения касательных напряжений в сечении при поперечном изгибе. Так, например, для прямоугольника Кх=Ку=1,2, а для двутавра при изгибе в плоскости его стенки K=F/FCT, где F-площадь всего сечения двутавра, FCT -площадь стенки; Nz, Qx, Qy, Mz, Mx, My-внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной стержневой системы; -внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной системы, от действия усилия Ф=1.

 Дифференцируя выражение (6.1) по Ф, и полагая после этого Ф=0, находим искомое перемещение в искомой точке в нужном направлении.

. (6.2)

 Полученные интегралы называются интегралами Мора и широко применяются при вычислении перемещений стержневых систем.

 Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирно-стержневые системы-фермы), в формуле Мора (6.2) отличен от нуля будет только слагаемое, содержащее продольные силы. При расчете балок или рамных систем, работающих в основном на изгиб, влияние поперечной и продольной силы на перемещение несущественно и в большинстве случаев их влияние не учитывается. В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают, в основном, на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно ограничиваются рассмотрением слагаемых, содержащих изгибающие и крутящие моменты.

 Подробно рассмотрим случай, когда брус работает только на изгиб (Mx¹0, Nz=Mz=My=Qx=Qy=0). В этой ситуации выражение (6.2) принимает вид:

. (6.3)

 Согласно (6.3) для определения перемещения произвольной точки в произвольном направлении, последовательно необходимо выполнять следующее:

 1.Построить эпюру моментов Мx от заданной системы внешних сил;

 2.Исключая внешние силы и в точке, где необходимо определить перемещение по заданному направлению, прикладывается единичное усилие (сила-если требуется определить линейное перемещение; момент-если требуется определить угловое перемещение), и от действия единичного усилия строится эпюра моментов ;

 3.По формуле Мора (6.3) вычисляется искомое перемещение.

Рис.6.6


Лекция 8. Прямой изгиб

8.1. Основные определения

Изгибом называется такой вид нагружения, при котором ось бруса

(и, собственно брус) под действием внешних нагрузок только искривляется, оставаясь в одной плоскости.

Рассмотрим закрепленный в опорах брус, у которого продольная ось совпадает с координатной осью Z. При этом необходимо ответить на следующие вопросы:

-какие внешние нагрузки могут привести к такой деформации бруса?

-какие внутренние силовые факторы при этих внешних нагрузках будут действовать в поперечных сечениях?

Ответ на первый вопрос представлен на рис.8.1(слева), а на второй - справа (при этом использован метод сечений).

Рис.8.1

Первая схема ( действие сосредоточенной силы P, параллельной оси Y) приводит к возникновению в поперечных сечениях двух внутренних силовых факторов- внутренней силы Qy (она называется «поперечной» или «перерезывающей») и внутреннего изгибающего момента Mx (индекс «x» указывает на то, что изгиб происходит вокруг оси X).


Эти внутренние силовые факторы определяются по следующим зависимостям

Qy = P, Mx = P L

Вторая схема ( действие распределенной нагрузки q, параллельной оси Y, приводит к возникновению в поперечных сечениях тех же двух внутренних силовых факторов внутренней силы Qy и внутреннего изгибающего момента Mx)

 В этом случае они определяются по соотношениям:

Qy = qL, Mx = qL L/2 = qL2/2

Третья схема ( действие сосредоточенного момента M в плоскости YZ приводит к возникновению в поперечных сечениях только одного внутреннего силового фактора – изгибающего момента Mx) который определяется по соотношению:

Mx = M

Изгиб, при котором брус деформируется в плоскостях YZ или XZ, называется прямым изгибом.

Если изгиб происходит в плоскостях, наклоненных к указанным плоскостям YZ и XZ под некоторым углом, то такой изгиб называется косым.

Если в поперечных сечениях бруса возникают поперечная (перерезывающая) сила и изгибающий момент,., то такой изгиб называют «поперечным», а если только один изгибающий момент-., «чистым» изгибом.

Если принять EI=const, то перемещение в некоторой точке стержня определяется как интеграл от произведения двух функций моментов-Мx и . В общем виде интеграл Мора можно выразить следующей формулой: .(6.4).

Метод сил Суть этого метода заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется соответствующими силами и моментами.

Определить степень статической неопределимости системы и составить уравнение совместности деформаций.

При вычислении D1P было учтено, что эпюры М1 и МP имеют разный знак, т.к. вызывают растяжение разных волокон-об этом говорит отрицательный знак при D1P.

Устойчивость прямых стержней Понятие об устойчивости. Задача Эйлера.

Рассмотрим условия, при которых происходит переход от центрально сжатого состояния к изогнутому, т.е. становится возможной криволинейная форма оси стержня при центрально приложенной сжимающей силе Р.

Кручение стержней. Внутренние усилия при кручении. Напряжения при кручении стержней с круглым поперечным сечением. Определение углов закручивания стержней круглого поперечного сечения. Главные напряжения при кручении стержней круглого поперечного сечения. Расчет круглых стержней на прочность и жесткость. Кручение стержней с некруглым поперечным сечением.
Определение прогиба и напряжений