Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Касательные напряжения при поперечном изгибе. Косой изгиб Внецентренное растяжение и сжатие Определение перемещений методом Мора Колебания системы с одной степенью свободы

Сопротивление материалов

Теория напряжений. Напряженное состояние в окрестности точки. Тензор напряжений. Главные площадки и главные напряжения. Двухосное напряженное состояние. Графическое определение напряжений. Круг Мора.

Косой изгиб

 Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис.5.27,а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в поперечном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента относительно этих осей (рис.5.27,б):

Mx=Msina;My=Mcosa. (5.25)

 Введем следующее правило знаков для моментов Mx и My -
момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

Рис.5.27

 На основании принципа независимости действия сил нормальное напряжение в произвольной точке, принадлежащей к поперечному сечению бруса и имеющей координаты x,y, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами Mx и My, т.е.

. (5.26)

 Подставляя выражения Mx и My из (5.25) в (5.26), получим:

.

 Из курса аналитической геометрии известно, что последнее выражение представляет собой уравнение плоскости. Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напряжения s, то концы векторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.

 Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) s=0:

.

 Откуда определяется:

. (5.27)

 Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегда проходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.

 Далее покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, как это всегда выполнялось при поперечном изгибе. Действительно угловой коэффициент K1 следа момента (рис.5.27,б) равен:

K1=tga. (5.28)

 Угловой же коэффициент нейтральной линии, как это следует из (5.27), определяется выражением:

tg j=K2. (5.29)

 Так как в общем случае Ix¹Iy, то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку K1¹. Брус, образно выражаясь, предпочитает изгибаться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальной.

Лекция 5. Механические свойства материалов. Часть 2.

5.2.1. Виды испытаний и испытательных машин.

Виды образцов для испытаний.

 

 Как отмечалось ранее при расчетах конструкций и их деталей необходимо знать механические свойства используемых материалов. Выше были рассмотрены два важных показателя упругих свойств материалов – коэффициент Пуассона μ и модуль Юнга Е.

 Известны другие показателей упругих и пластических свойств материалов, которые в своей совокупности описывают поведение материалов под нагрузкой.

 Механические свойства, как правило, определяют экспериментальным путем на специальных испытательных машинах с помощью специальных образцов. Различают  испытания на растяжение/сжатие (наиболее распространенный вид испытаний), кручение, изгиб, удар и др.

 Соответственно и испытательные машины подразделяются на растяжные (они же позволяют проводить опыты на сжатие), крутильные, маятниковые копры (удар), а также универсальные машины, на которых можно проводить опыты со сложным законом нагружения, где моделируются условия нагружения при эксплуатации реальных конструкций.

Такие машины являются дорогими устройствами и, как правило, снабжены, нагревательными устройствами для проведения опытов при различных температурах и компьютерами для обработки результатов испытаний и задания условий нагружения

В опытах применяются круглые и плоские образцы. Их размеры и конфигурация являются стандартными, так как экспериментально установленным фактом является то, что результаты испытаний зависят от формы и размеров образцов(масштабный фактор).

 Характерной особенностью формы образцов является наличие на концах усиленных частей - головок под захват машины и плавного перехода к более тонкой рабочей части постоянного сечения. Такая форма образца позволяет обеспечить однородное напряженное состояние в его рабочей части.

Как правило, при испытаниях на растяжение используют пятикратный образец- l0 = 5 d0 (обычно d0 = 5 мм, а l0 = 25 мм).

Образец на сжатие является обычным цилиндром с высотой h0 и диаметром d0.

 В целях уменьшения влияния трения на результаты опытов соотношение между высотой и диаметром составляет h/d=1,5(обычно h = 12–15 мм, а d = 8–10 мм).

5.2.2. Машинные диаграммы растяжения пластичного образца.

Принципиальная схема испытательной машины на растяжение/сжатие представлена на рис.5.3.

 При растяжении образца датчики усилий и удлинений передают сигналы в «суммирующее» устройство, в котором через общий параметр «время» - t выдается окончательная «машинная диаграмма» растяжения образца – P=P(Δl).

Характерная машинная диаграмма, получаемая при растяжении пластичного образца, представлена на рис.5.4.

Рис.5.3

Данная диаграмма называется диаграммой растяжения с площадкой текучести. Ее основными участками являются: ОА1 А (т. А1 на рис. не показана); АВ; ВС; СD.

Участок ОА, соответствует стадии упругости образца, т.е. при снятии нагрузки из любой точки этого участка образец полностью возвращается к своим исходным размерам.

 На участке ОА1 (А1 расположена чуть ниже т. А) деформация материала подчиняется закону Гука, т.е.между силой и абсолютным удлинением существует прямо пропорциональная (линейная) зависимость теряется.

 На участке А1А прямо пропорциональная зависимость теряется , закон Гука не выполняется и появляется нелинейная связь между силой и удлинением с сохранением упругих деформаций..

На участке АВ рост нагрузки замедляется, а затем почти прекращается при одновременном росте удлинений. Явление значительного роста удлинений без заметного увеличения нагрузки называется текучестью, а горизонтальный(или почти горизонтальный) участок диаграммы растяжения называется площадкой текучести.

Рис.5.4

На стадии текучести полированная поверхность образца покрывается сеткой тонких линий, называемых линиями сдвига, или линиями Чернова, названными так по фамилии русского металлурга, впервые заметившего их.

 Эти линии являются следами плоскостей скольжения (сдвига) частиц материала друг относительно друга. Они наклонены к оси бруса под углом, близким к 45° и практически совпадают с плоскостями действия максимальных касательных напряжений.

На участке ВС, называемом зоной упрочнения, материал вновь приобретает свойство оказывать сопротивление нагрузке, но с ростом удлинения образца нагрузка возрастает значительно медленнее, чем на упругом участке. В конце зоны упрочнения (т.С)  равномерное до этого уменьшение поперечных размеров рабочей части образца нарушается появлением местного утоньшения — шейки.

На участке СD деформация образца приобретает местный характер, сосредоточена в области шейки и в связи с быстрым уменьшением площади сечения образца для развитии деформации требуется меньшая нагрузка. Этим и объясняется падение нагрузки за точкой Сна диаграмме растяжения. Участок диаграммы за точкой С называется зоной разупрочнения. Точка D диаграммы соответствует разрушению образца.

Многие материалы, например легированные стали, дюралюминий, обнаруживают пластические свойства, но площадки текучести на диаграмме растяжения не имеют. Характер диаграмм растяжения для дюралюминия и легированной стали представлен на рис.5.5.

Рис.5.5

5.2.3. Диаграммы условных и истинных напряжений.

Диаграмма растяжения в осях P – Δl является по существу характеристикой образца из данного материала, так как при одном и том же значении силы P величина удлинения зависит от поперечных и продольных размеров образца. Чтобы исключить влияние размеров образца и получить характеристику именно материала, диаграмму растяжения перестраивают в координатах σ – ε, где σ - напряжение, ε – относительное удлинение.

При переходе от нагрузок P к напряжениям σ и от абсолютных удлинений Δl к относительным ε можно поступить двояко:

1) пренебречь изменением площади поперечного сечения образца в процессе растяжения, а также неравномерностью распределения деформаций по длине его рабочей части после образования шейки.

 В этом случае. подсчитывают напряжение σ делением текущей нагрузки P на начальную площадь А0 сечения образца, а относительную деформацию ε - делением абсолютного удлинения рабочей части образца на его первоначальную длину l0.

Уравнение линейного участка этой диаграммы на начальной стадии нагружения σ = Eε представляет собой уже известную математическую запись закона Гука при одноосном растяжении. Следовательно, численно модуль упругости Юнга Е равен тангенсу угла наклона к оси абсцисс прямолинейного участка диаграммы растяжения.

2) в процессе растяжения образца в действительности его площадь поперечного сечения постоянно уменьшается. Поэтому диаграмма растяжения, по оси ординат которой откладывается напряжение σи, полученное делением текущей силы Р на текущую наименьшую площадь сечения образца Атек., а по оси абсцисс – текущее относительное удлинение ε в данный момент нагружения, называется диаграммой истинных напряжений. Эта диаграмма показана на рис.5.6.

Рис.5.6

. Падения напряжений за точкой C не наблюдается, так как площадь сечения в шейке уменьшается быстрее, чем падает нагрузка, поэтому напряжения возрастают.

 Вследствие образования шейки распределение напряжений по сечению становится неравномерным, а частицы материала испытывают растяжение не только в продольном , но также в радиальном и окружном направлениях.

 Это приводит к образованию внутри шейки поперечной трещины. Различие характера диаграмм условных и истинных напряжений становится значительным только после образования шейки.

Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего момента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z>li и игнорировать при zli.

Для схем стальных балокI и II, изображенных на рис.5.25 и 5.26, определить методом начальных параметров углы поворота сечения и прогиб в точкеD.

Прогиб точки D происходит вниз, а сечение поворачивается по часовой стрелке.

 Стальная балка АВ, расчетная схема и поперечное сечение которой показаны на рис.5.28,а, (c=0,03м) нагружена силами Р1 и Р2.

Теория деформаций. Перемещения и деформации. Тензор деформаций. Средняя и объемная деформация. Главные деформации. Частные случаи деформированного состояния.
Определение прогиба и напряжений