Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Касательные напряжения при поперечном изгибе. Косой изгиб Внецентренное растяжение и сжатие Определение перемещений методом Мора Колебания системы с одной степенью свободы

Сопротивление материалов

Геометрические характеристики поперечных сечений стержней. Статические моменты и моменты инерции. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей. Главные оси и главные моменты инерции. Моменты инерции простых сечений. Моменты инерции сложных сечений. Графическое определение моментов инерции. Круг инерции.

Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе

 В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

 Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при  (где h-высота поперечного сечения, l-длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений s применяют ту же формулу (5.10).

 Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис.5.21,а).

Рис.5.21

 Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис.5.21,в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис.5.21,б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади bdz распределены равномерно, используя условие åz=0, получим:

N* - N* - dN* + t bdz=0,

откуда

. (5.12)

где N*-равнодействующая нормальных сил sdF в левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади F* (рис.5.20,г):

. (5.13)

 С учетом (5.10) последнее выражение можно представить в виде

, (5.14)

где -статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис.5.21,б эта область заштрихована). Следовательно, (5.14) можно переписать в виде

,

откуда

. (5.15)

 В результате совместного рассмотрения (5.12) и (5.15) получим

,

или окончательно

. (5.16)

 Полученная формула (5.16) носит имя русского ученого Д.И.Журавского.

 Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис.5.21,г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси-dz, т.е. по оси z; по вертикальной оси-dy, т.е. по оси у; по оси х-равный ширине балки.

Упругие свойства материалов, модуль упругости Е.

Подвергнем растяжению или сжатию образец, зафиксировав текущую нагрузку Р и соответствующее ей абсолютное удлинение Δl. Результаты опыта позволяют сделать следующие вывод, что увеличение нагрузки Р приводит к росту абсолютного удлинения Δl. Эта зависимость является прямо пропорциональной.

Опыт №5. Возьмем несколько образцов с одинаковой исходной длиной l0 и различной исходной площадью поперечного сечения А0.

 Нагрузим все образцы до некоторой одинаковой силы Р и будем измерять получаемую каждым образцом величину абсолютного удлинения Δl.

 Результаты этого опыта позволяют сделать вывод, что увеличение исходной площади поперечного сечения А0 приводит к уменьшению конечной величины абсолютного удлинения Δl и, следовательно, относительного удлинения Δl/l0. Эта зависимость является обратно пропорциональной.

Суммируя результаты опытов №4 и №5 получим, что Δl/ l0 ~ Р/А0 ,а заменяя внешнюю силу Р на равную ей внутреннюю силу N , получим Δl/l0 ~ N/А0.

 Знак «~» означает пропорциональность.

Коэффициент пропорциональности представляют в виде –1/Е, а величина «Е» носит название модуля Юнга[2].

 Этот коэффициент характеризует «упругость» материала. Чем величина Е больше, тем образец более упругий, т.е. для его деформирования до определенных величин необходимо приложить бóльшую нагрузку.

 Опыты показывают, что для разных материалов значения модуля упругости различны.

Окончательно результаты опытов можно свести к виду:

Δl/l0=1/Е . N/А0

5.4.Закон Гука.

Преобразуем полученное выражение следующим образом:

Δl=Nl0/ЕА

Эту зависимость принято называть первой формулировкой закона Гука

 Произведение ЕА называют «жесткостью» материала при растяжении или сжатии, увеличение которой приводит к уменьшению «податливости» материала при нагрузке, т.е. к уменьшению деформаций при прочих равных условиях. Формула закона Гука легко приводится к виду:

σ=Е ε

 Из формулы закона Гука следует, что размерность модуля Юнга совпадает с размерностью напряжений (т.е. в системе «Си» - [н/м2 =Па].

Формула закона Гука получена при условии постоянства силы N. Если же сила N является переменной (зависит от координаты Z), то указанная формула принимает более сложную «интегральную» форму:

Δl=∫(N(z)/EA)dz

Контрольные вопросы

1. Поясните, почему абсолютные деформации менее информативны, чем относительные.

2. Чему равен коэффициент Пуассона для материала, не изменяющего свой объем при деформации? У какого материала µ меньше – у пробки или резины?

3. Что характеризует модуль Юнга Е?

4. Сформулируйте закон Гука.

Определение внутренних силовых факторов в сечениях рам производится также с помощью метода сечений. Однако при выполнении разрезов всегда следует выяснить, какую из частей рамы считать левой, а какую правой.

Участок III (0z34м) (рис.5.20). Приняв начало координат в сеченииD и сделав разрез в пределах этого участка, рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиной z3.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (5.10), а касательные напряжения t-по формуле Д.И.Журавского (5.16).

 Для составной балки, имеющей поперечное сечение, показанное на рис.5.22, требуется: 1.Определить расчетные параметры поперечного сечения балки;

 Момент сопротивления Wx для точек1 и 2 определим по формулам: для точки1 м3;

Касательное напряжение определим по формуле Журавского: , где -расчетная поперечная сила, d-ширина сечения на уровне точки3.

Центральное растяжение и сжатие стержней. Внутренние усилия. Напряжения в поперечных и наклонных сечениях. Деформации и перемещения. Закон Гука. Статически неопределимые задачи. Механические свойства материалов. Диаграммы растяжения и сжатия. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии. Расчеты на прочность.
Определение прогиба и напряжений