Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
> Запас усталостной прочности Геометрические уравнения и уравнения неразрывности Теория предельных напряженных состояний Основы теории пластичности

Сопротивление материалов

1. Решение методом замкнутого треугольника сил. Мысленно освобождаем шар от связей, заменяя действие связей их реакциями. Связями для шара являются: " вертикальная плоскость АВ, реакция которой находится в точке соприкосновения К и направлена перпендикулярно плоскости; " веревка CD, реакция которой направлена вдоль веревки.

Основы теории пластичности

 При испытании образцов обнаруживаются следующие основные особенности характера деформирования материалов при их нагружении. Упругость-после разгрузки образец полностью восстанавливает свои первоначальные размеры. При этом, если в процессе нагружения связь между напряжениями и деформациями является линейной, то материал называется линейно-упругим или идеально упругим. В противном случае, то есть, если между напряжениями и деформациями связь обнаруживается нелинейной, то материал называется нелинейно упругим.

 Теория, в которой в качестве физических соотношений применяются линейные соотношения между напряжениями и деформациями, т.е. закон Гука, называется теорией идеальной упругости. Теория, в которой закон Гука заменяется некоторыми нелинейными соотношениями (ввиду их многообразия), называется нелинейной теорией упругости. 

 Физические соотношения теории упругости позволяют описать напряженно-деформированное состояние нагруженного тела до определенных пределов их нагружения, называемой пределом упругости. При напряжениях, превышающих предел упругости, после разрузки наблюдаются заметные остаточные деформации. Свойство материалов относительно неспособности восстанавливать первоначальные размеры образцов после их разгрузки за счет возникновения остаточных деформаций, называется пластичностью.

 Физические соотношения, взятые в основу теории, позволяющие определить переход напряженно-деформированного состояния от упругой стадии к упруго-пластической и описать процесс деформирования тела с учетом пластических свойств материалов, называются теорией пластичности.

 Учет пластических свойств материалов является чрезвычайно важным этапом в плане совершенствования методов расчета конструкций. Если конструкции из хрупких материалов вплоть до стадии разрушения при действии внешних сил не развивают заметных пластических деформаций, то для конструкций из пластических материалов основные деформации формируются именно за счет возникновения пластических деформаций. Так например, полные деформации, соответствующие концу площадки текучести на реальной диаграмме, для многих материалов в 30-40раз превышают деформации, соответствующие концу линейного участка.

 В настоящее время существуют две теории пластичности. Их различие заключается в конкретной записи физических соотношений. Что же касается двух других основных соотношений механики сплошной среды-уравнений равновесия (10.1), (10.2), и соотношений, устанавливающих взаимосвязь между перемещениями и деформациями (10.16), то они идентичны в обеих теориях пластичности и имеют тот же вид, что и в теории упругости.

 В деформационной теории пластичности, разработанной А.А. Ильюшиным, взамен закона Гука устанавливаются новые соотношения между напряжениями и деформациями.

 Во второй теории-теории течения, физические соотношения связывают напряжения с приращениями деформаций или скоростями деформаций.

 Как показывают экспериментальные исследования, деформационная теория пластичности справедлива при относительно небольших пластических деформациях для простого нагружения, т.е. когда все внешние нагрузки изменяются пропорционально во времени.

 Теория течения является эффективным при изучении процессов, связанных с возникновением больших деформаций и при сложном нагружении, т.е. когда нагрузки, прикладываемые к телу, изменяются во времени независимо друг от друга.

 Здесь ограничимся рассмотрением только деформационной теории пластичности.

Расчет систем стержней, соединенных

 с недеформируемым элементом

На рис. 1.5 изображена стержневая система, состоящая из жесткого, недеформируемого стержня АВ, шарнирно опертого в точке А и подкрепленного тремя деформируемыми стержнями. Схема деформирования такой системы определяется возможными перемещениями жесткого элемента. Для рассматриваемой системы (рис.1.5) возможен поворот элемента АВ, как жесткого диска, вокруг шарнира А. При этом стержни, подкрепляющие жесткий элемент, деформируются.

Неизвестными в заданной системе являются усилия в подкрепляющих стержнях - N1, N2, N3 и реакции в шарнире - RA, RВ. Таким образом, число неизвестных  Н = 5. Для плоской системы можно составить У = 3 независимых уравнений равновесия. Следовательно, Л = Н – У = 5 – 3 = 2 - система два раза статически неопределима. 

Для решения задачи необходимо использовать условия неразрывности деформаций. Для составления этих условий в системе с жестким элементом нужно рассмотреть схему ее деформирования. Схема деформирования рассматриваемой системы представлена на рис. 1.6. При определении перемещений узлов системы принимаются следующие положения:

1/ деформации (перемещения) малы, вследствие чего, точки элементов при их вращении вокруг закрепленных (опорных) точек перемещаются перпендикулярно оси элементов в их первоначальном положении;

2/ после деформирования системы углы между элементами не изменяются.

Для заданной системы (рис. 6.1) точки 1, 2, 3 жесткого элемента АВ перемещаются вертикально. При этом, очевидно, что перемещения этих точек связаны соотношениями:

 . (1.2.1)

Точки деформируемых элементов, соединенных с жестким элементом, перемещаются соответственно в точки . При этом стержни удлиняются (или укорачиваются). Процесс деформирования первого и второго стержней можно разложить на два этапа (рис. 1.6 - узлы 1, 2): 

1-й этап - поворот стержней вокруг неподвижных точек О1 и О2 - точки 1, 2 переходят в положение  и  соответственно;

 2-й этап – удлинения (укорочение) стержней - точки ,  переходят в положение  и  соответственно. 

Из схемы деформирования видно, что удлинения стержней определяются по формулам:

; . (1.2.2) 

 


В формулах (1.2.2) удлинения стержней выражены через один общий параметр - u1. Эти формулы являются уравнениями неразрывности рассматриваемой стержневой системы с жестким элементом. Знак минус в формуле деформации D2 2-го стержня соответствует сжатию (укорачиванию) этого элемента.

Удлинениям стержней соответствуют растягивающие (сжимающие) усилия в стержнях:

 . (1.2.3)

Используя отношения Nk к N1, выразим усилия в стержнях через один силовой параметр:

 

И далее, учитывая соотношения (1.2.2) и размеры стержней (см. рис. 1.5), получим:

И, следовательно, имеем

 ; (1.2.4)

Для окончательного решения задачи составим уравнение равновесия – равенство нулю момента относительно точки А ( при этом из уравнения исключаются опорные реакции - VA и HA)

;

С учетом формул (1.2.4) получаем

или 

Откуда

кН;

кН;

кН.

Вычисляем напряжения в стержнях;

МПа;

МПа;

МПа.

Процесс деформирования материалов можно условно разделить на две стадии.

При деформировании материалов пластические деформации, как правило, существенно больше упругих и, учитывая, что объемная деформация нe является величиной порядка упругих удлинений, поэтому принимается, что при пластическом деформировании изменение объема пренебрежительно мало.

Для трехстержневой системы (рис.10.10,а) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения (рис.10.10,б), при следующих исходных данных: a=30°; l=1,0м; F=210-4м2-площади поперечных сечений стержней; E=2108 кН/м2-модуль упругости материалов стержней; sT= =2,5105 кН/м2-предел упругости материала; sB=3,9105 кН/м2 - временное сопротивление; eB=0,02 -значение деформации, соответствующее напряжению sB, требуется:1.Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P=P1, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости;

Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P=P2, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования.

Как показали расчеты, учет пластической стадии работы позволил выявить дополнительные резервы несущей способности заданной системы, т.к. величина разрушающей силы заданной системы в действительности равна P=P3=200,97 кН.

Исключая средний стержень, система превращается из статически неопределимой в статически определимую.

Кинематика материальной точки Основные понятия и определения. Задачи кинематики точки. Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Скорость точки как производная ее радиус-вектора по времени. Ускорение точки как производная ее вектора скорости по времени.
Прочность толстостенной цилиндрической оболочки