Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
> Запас усталостной прочности Геометрические уравнения и уравнения неразрывности Теория предельных напряженных состояний Основы теории пластичности

Сопротивление материалов

Для вала редуктора построить эпюры изгибающих и крутящих моментов. Из условия прочности подобрать диаметр вала круглого поперечного сечения и использованием третьей теории прочности - теории наибольших касательных напряжений (теории Сен-Венана). Округлить полученное значение диаметра до ближайшего, кратного 5, в большую сторону.

Геометрические уравнения и уравнения неразрывности

  Происходящие при нагружении тела перемещения его точек можно задать при помощи совокупности трех функций (см. п.1.5): u(x,y,z), v(x,y,z) и w(x,y,z), определяющих перемещения вдоль координатных осей x, y и z, соответственно. Достаточно просто можно показать, что деформации (линейные и угловые) выражаются через функции перемещений, (в случае малых перемещений, которые рассматриваются в сопротивлении материалов):

 (10.16)

где ei-линейная деформация вдоль i-той оси координат, gij-угловая деформация в плоскости i0j(i,j=x, y, z) (см.рис.10.1).

  Правило знаков принимается следующее: для линейных деформаций-растяжению соответствует положительная деформация; для угловых деформаций положительное ее значение соответствует уменьшению прямого угла между положительными направлениями осей. По аналогии с напряженным состоянием, здесь также имеются главные деформации и главные площадки деформирования, которые являются инвариантами, независящими от осей координат.

  Принятая в механике деформируемого тела гипотеза о сплошности среды, выражающаяся, в частности, в том, что в одну и ту же точку пространства не могут придти две материальные точки, равно, как и не допускается разрывов среды, находит свое воплощение в уравнениях неразрывности деформаций. Как видно из (10.16), шесть компонентов деформаций выражаются через три функции перемещений-следовательно между ними существует определенная связь в виде:

;

;

; (10.17)

;

;

.

 Убедиться в верности (10.17) можно просто-достаточно подставить в них выражения (10.16). В случае плоской задачи, за исключением первого уравнения системы (10.17), остальные уравнения превращаются в тождество.

  В заключение заметим, что в каждой точке среды деформируемого тела всегда существуют три взаимно перпендикулярные плоскости, которые не испытывают сдвигов. Координатные оси, которые образуют эти плоскости, называются главными осями деформируемого состояния.

 Линейные деформации по главным осям называются главными деформациями и нормируются в порядке e1>e2>e3 с учетом их знака, причем знак “плюс” относится к тем деформациям, которые вызваны в результате растяжения, и наоборот, знак “минус” относится к деформациям сжатия.

 Заметим, что для изотропного тела, свойства которого не зависят от направлений координатных осей, главные оси напряжений и деформаций совпадают.

Метод сечений.

Одной из основных задач сопротивления материалов является нахождение внутренних силовых факторов по заданным внешним нагрузкам. Тогда можно судить о прочности, жесткости и устойчивости конструкции. Для этого применяется «метод сечений», который состоит из 4-х этапов.

Пусть имеем тело, на которое действуют уравновешенные внешние нагрузки (рис.3.5). Необходимо определить, какие внутренние силы возникают в произвольном поперечном сечении.

 

Рис.3.5

1. Рассекаем тело в интересующем нас сечении (рис.3.6)

Рис.3.6

2. Отбрасываем одну из частей тела (рис.3.7)

Рис.3.7

3. Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся часть неизвестными внутренними силовыми факторами (рис3.8).

 При этом неизвестные внутренние силовые факторы переводятся во внешние.

 R–равнодействующая всех неизвестных внутренних сил с двумя проекциями Ry и Rz, а М – суммарный момент всех неизвестных внутренних моментов.

Рис.3.8

4.Составляем уравнения равновесия статики. Получаем систему линейных уравнений с тремя неизвестными Ry, Rz и M, решая которую, находим искомые внутренние силы в поперечном сечении.

 Начальные буквы этих этапов образуют аббревиатуру «РОЗУ», которая помогает запомнить основные этапы метода сечений.

3.4. Основные гипотезы и допущения.

Реальные материалы обладают разнообразными физическими свойствами и характерной для каждого из них структурой. С целью упрощения расчетов в сопротивлении материалов используют гипотезы и допущения о свойствах материала.

 Основные гипотезы и допущения:

1. Материал считается однородным, то есть его свойства во всех точках одинаковы по какому-то направлению. При изменении направления свойства могут измениться, но все равно будут одинаковы во всех точках.

2. Материал считается изотропным, то есть его свойства в произвольной точке одинаковы по всем направлениям. При переходе к другой точке свойства могут измениться, но все равно будут одинаковыми по всем направлениям.

3. Материал считается сплошным, то есть без пустот заполняет пространство, ограниченное поверхностью тела. Таким образом, материал – непрерывен, что позволяет использовать математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления.

4. Материал считается идеально упругим, то есть полностью восстанавливает свои форму и размеры после снятия нагрузки.

5. Деформации материала прямо пропорциональны прикладываемым нагрузкам, то есть справедлив закон Гука.
Кроме того, также с целью упрощения расчетов вводятся гипотезы и допущения о схемах нагружения, действии прикладываемых нагрузок и т.д.

6. Принцип независимости действия сил. При действии на тело нескольких сил, результат действия одной части этих сил не зависит от результата действия остальных сил

Следствие: Результат действия на тело нескольких сил равен сумме результатов от действия каждой силы в отдельности и не зависит от последовательности приложения этих сил. Таким образом, одну сложную задачу можно разбить на ряд простых, а результаты «сложить».

7. Принцип начальных размеров. При составлении условий равновесия реального тела оно может считаться абсолютно твердым. То есть деформации тела под нагрузками настолько малы, что можно не учитывать изменение местоположения точек приложения нагрузок и взаиморасположения нагрузок и их линий действия между собой.

8. Гипотеза плоских сечений (Бернулли) Поперечные сечения тела, бывшие плоскими до нагружения, остаются плоскими и после нагружения.

9. Принцип Сен-Венана. Замена совокупности некоторых сил, приложенных на небольшой части поверхности тела, статически эквивалентной системой других сил не вызовет существенных изменений в условиях нагружения достаточно удаленных частей тела

Рассмотренные выше гипотезы и допущения вносят определенные погрешности в расчеты. Так как «сопротивление материалов» - инженерная наука, то в большинстве случаев этими погрешностями можно пренебречь. Также надо учитывать, что целиком как совокупность указанные предположения используются достаточно редко.

Контрольные вопросы

1. Может ли тело быть «прочным», но не «жестким»? Приведите пример.

2. Приведите пример внешней активной силы и внешней реактивной силы.

3. Приведите пример динамической внешней силы.

4. Из скольких этапов состоит «метод сечений»?

5. Сформулируйте, какими свойствами обладает однородный изотропный материал.

6. Являются ли обычные металлы и сплавы (железо, чугун, сталь и т.д.) «сплошными» материалами?

Определение напряжений на произвольной площадке. Главные оси и главные напряжения.

Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них-главными напряжениями.

Рассмотрим как определяются величины главных напряжений через заданные значения шести компонентов напряжений sx, sy, sz, txy, txz, tyz в произвольной системе координат x, y, z. Возвращаясь к рис.10.2, предполагаем, что наклонная площадка является главной.

Для определения положения главных площадок необходимо вычислить значения направляющих косинусов следующим образом.

Физические уравнения теории упругости дляизотропного тела. Обобщенный закон Гука.

Возможные способы решения задач теории упругости В общем случае искомыми величинами в задачах теории упругости являются функции перемещений, компоненты напряженного и деформированного состояний среды.

Для балки на двух опорах определить опорные реакции, проверить правильность определения реакций. Определить значения внутренних поперечных сил в характерных сечениях балки. Построить эпюру поперечных сил. Определить значения внутренних изгибающих моментов в характерных сечениях балки. Построить эпюру изгибающих моментов. Подобрать рациональное сечение двутавровой балки
Прочность толстостенной цилиндрической оболочки