Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Перемещения и деформации Потенциальная энергия деформации Общие принципы расчета конструкции Кручение бруса с круглым поперечным сечением Кручение тонкостенного бруса три опорные реакции.

Сопротивление материалов

Сложное сопротивление. Общие понятия. Косой изгиб. Внецентренное растяжение и сжатие. Растяжение и сжатие с изгибом. Теории прочности. Примеры расчетов с использованием теорий прочности.

Потенциальная энергия деформации

 Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А=U+K. (2.8)

 При действии статических нагрузок К=0, следовательно,

А=U. (2.9)

 Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружинах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В случае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

 На рис.2.4,а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку Dl, ниже показан график изменения величины удлинения стержня Dl в зависимости от силы Р (рис.2.4,б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

 Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня Dl. Дадим некоторое приращение силе DР-соответствующее приращение удлинения составит d(Dl). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA=(P+dP)d(Dl)=Pd(Dl)+dPd(Dl), (2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA=Pd(Dl). (2.11)

 Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка-перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении Dl будет равна площади треугольника ОСВ (рис.2.4), т.е.

А=0,5РDl. (2.12)

 В свою очередь, когда напряжения s и деформации e распределены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде:

. (2.13)

 Поскольку, в данном случае имеем, что V=Fl, P=sF и s=Еe, то

, (2.14)

т.е. подтверждена справедливость (2.9).

 С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным поперечным сечением и при Р=const из (2.14) получим:

. (2.15)

Методические указания к решению задач №1 и №2

 При решении задачи № 1 расчет стержня ступенчато постоянного сечения следует начинать с определения опорной реакции с использованием уравнения равновесия ΣX = 0, а начало координат расположить в опорном сечении.

 Эпюра продольных сил N строится при помощи метода сечений, для чего необходимо показать характерные сечения по длине стержня. В отсеченной части стержня должна быть показана положительная (растягивающая) продольная сила. Контроль правильности построенной эпюры N следует проводить с использованием дифференциальной зависимости dN/dx=-q(x). На участках, где q(x) =0, продольная сила N должна быть постоянной, а на участках, где q(x) = const, продольная сила изменяется по линейному закону.

 Эпюра нормальных напряжений строится с использованием формулы

σ = N/F. Значения N и σ, полученные в начале и конце характерных сечений, откладываются от оси стержня с указанием знака; производится штриховка эпюр.

 Эпюра осевых перемещений u(x) строится с использованием формулы

 Для определения осевого перемещения в сечении с координатой "x" необходимо вычислить площадь эпюры нормальных напряжений   между опорным сечением и рассматриваемым сечением. Для определения абсолютного удлинения стержня Δl необходимо вычислить всю площадь эпюры нормальных напряжений:  .

 При оформлении графической части работы на листе формата А4 необходимо изобразить стержень с геометрическими размерами и нагрузками, указать характерные сечения и в выбранном масштабе построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и осевых перемещений u(x).

 В задаче № 2 необходимо определить усилия N1 и N2 в стержнях 1 и 2 по методу предельных состояний от действия расчетной нагрузки Ррасч= Рн γf , где Рн - нормативная нагрузка, γf - коэффициент надежности по нагрузке.

 Так как задача является статически неопределимой и уравнений равновесия недостаточно для определения неизвестных усилий, то для решения задачи необходимо рассмотреть геометрическую схему деформаций и получить зависимость между абсолютными удлинениями Δl1, Δl2 : Δl1 = k1 Δl2

 Абсолютные удлинения стержней Δl1, Δl2 нужно выразить через усилия в стержнях N1, N2 и получить дополнительное уравнение, связывающее между собой усилия в стержнях N1 = k2N2 , где k2 - коэффициент, зависящий от геометрических параметров системы и соотношения площадей стержней F2 / F1 .

Для определения усилий в стержнях 1 и 2 следует воспользоваться уравнением равновесия ΣМА = 0 и уравнением N1 = k2N2 .

 Подбор сечений стержней 1 и 2 производится по формулам:

 После определения площадей сечений необходимо проверить заданное отношение площадей стержней F2/F1 . Изменив площади поперечных сечений при невыполнении заданного отношения F2/F1 , подбираем по сортаменту сечения стержней 1 и 2 в виде двух равнобоких уголков. 

 Проверка выполнения условий прочности производится по формулам:

 Абсолютные удлинения определяются по формулам:

 

При выполнении пунктов 6,7 принимается упрощенная диаграмма зависимости между напряжениями σ и деформациями ε (диаграмма Прандтля). Согласно диаграмме Прандтля при напряжениях в стержнях, равных пределу текучести σт деформации неограниченно возрастают.ε 

 Для определения нагрузки Рт, при которой в системе возникают первые пластические деформации, необходимо согласно проведенному расчету установить наиболее напряженный стержень, в котором при возрастании нагрузки возникнут напряжения, равные пределу текучести, и соответствующее усилие N = σтF . Тогда усилие во втором стержне определится из равенства N1 = k2N2, а нагрузка Рт - из уравнения равновесия системы ΣМА = 0.

 Для определения разрушающей нагрузки Рразр необходимо рассмотреть предельное состояние системы, при котором в обоих стержнях возникают напряжения, равные пределу текучести σ1 = σт, σ2 = σт и соответствующие усилия N1т = σтF1 , N2т = σтF2 .Разрушающая нагрузка определяется из уравнения равновесия системы в предельном состоянии ΣМА = 0.

 В графической части работы необходимо на листе формата А4 изобразить схему статически неопределимой системы с необходимыми геометрическими размерами, показать нагрузку Р, горизонтальную и вертикальную составляющие опорной реакции в шарнире А и усилия в стержнях N1, N2 ; показать геометрическую схему деформации ;начертить диаграмму Прандтля ;изобразить схему стержневой системы с необходимыми геометрическими размерами, показать нагрузку Рразр, усилия в стержнях N1т и N2т ,действующие в предельном состоянии.

Контрольные вопросы

 1.Что такое центральное растяжение (сжатие) стержня ?

 2.Как определяются продольные усилия и нормальные напряжения в стержне ?

 3.Как вычислить абсолютные удлинения (укорочения) и осевые перемещения поперечных сечений стержня ?

 4.Перечислите основные механические характеристики материалов.

 5.Каким соотношением связаны между собой продольные и поперечные деформации ?

 6.Запишите закон Гука.

 7.Назовите методы расчета конструкций на прочность.

 8.Что такое допускаемое напряжение и расчетное сопротивление ?

 9.Какие коэффициенты используются в методе расчета на прочность по предельным состояниям ?

 10.Что такое жесткость стержня при растяжении (сжатии) и какова ее размерность ?

 11.Какие задачи называются статически неопределимыми? Назовите основные принципы решения статически неопределимых задач.

 12.Нарисуйте диаграмму Прандтля.

 13.Как определить несущую способность системы исходя из условий прочности ?

 14.Как определяется разрушающая нагрузка для стержневой системы в пластической стадии работы материала ?

Удлинение стержня и закон Гука Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим-свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р (рис.2.2).

Расчет передач на сопротивление усталости при изгибе Расчет выполняется при предположениях, что зуб нагружен силой FH, в зацеплении находится одна пара зубьев, а также силы трения отсутствуют.

 Для стального бруса квадратного сечения сжатого силой Р с учетом собственного веса при исходных данных приведенных ниже, требуется (рис.2.3,а): 1.Определить количество расчетных участков;

Аналогично предыдущему проводим сечение 2-2 на расстоянии z2 (рис.2.3,в). Для верхней части составляем уравнение равновесия åz=0.

Статически определимые и статически неопределимые системы Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в равновесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее элементах, можно определить только по методу сечений, без использования дополнительных условий, то такая система называется статически определимой.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением поперечных размеров стержня (рис.2.7).

Основные механические характеристики материалов Для количественной оценки основных свойств материалов, как правило, экспериментально определяют диаграмму растяжения в координатах s и e (рис.2.9),

Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнения движения плоской фигуры. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Независимость угловой скорости и углового ускорения фигуры от выбора полюса. Определение скорости любой точки плоской фигуры как геометрической суммы скорости полюса и скорости этой точки пир вращении фигуры вокруг полюса.
Метод сечений