Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
> Запас усталостной прочности Геометрические уравнения и уравнения неразрывности Теория предельных напряженных состояний Основы теории пластичности

Сопротивление материалов

Продольный и продольно-поперечный изгиб стержней. Понятие об устойчивости. Формула Эйлера для критической силы. Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы. Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности материалов. Практический расчет сжатых стержней на устойчивость. Продольно-поперечный изгиб стержня. Приближенное решение уравнения продольно-поперечного изгиба стержней. Расчет сжато-изогнутых стержней на прочность и устойчивость.

Запас усталостной прочности и его определение

 Сначала построим диаграмму усталостной прочности (часто, для простоты рассуждений предельную линию представляют в виде прямой) и покажем на ней рабочую точкуМ цикла (с координатами sm и sа) в случае, если рассматриваемый элемент испытывает только простое растяжение и сжатие (рис. 9.7).

 Рассмотрим все те циклы, рабочие точки которых лежат на одной прямой (рис.9.7) и для которых справедливо выражение sа= =smtga. С учетом (9.1) и после несложных преобразований можно получить, что:

.

где R-коэффициент асимметрии цикла.

 Значит, можно сделать вывод о том, что все подобные циклы лежат на одной прямой. Тогда, под запасом усталостной прочности будем понимать отношение отрезка ON к отрезку OM (рис.9.7):

, (9.6)

где точка M соответствует действующему циклу, а точка N получается вследствие пересечения предельной прямой и продолжения отрезка OM (рис.9.7).

 Это отношение характеризует степень близости рабочих условий к предельным для данного материала. В частном случае при постоянных статических нагрузках sа=0, данное определение запаса прочности совпадает с обычным.

Рис.9.7

Для определения  (т.е. в ситуации когда действуют лишь нормальные напряжения) в инженерной практике применяется как графический, так и аналитический способ. При графическом способе строго по масштабу строится диаграмма предельных напряжений в системе координат sа и sm. Далее, на этой диаграмме наносится рабочая точка и определяется отношение величин отрезка ON и OM. Для определения расчетных зависимостей для  воспользуемся условием подобия треугольников OND и OMK и получим:

. (9.7)

 Полученный коэффициент запаса соответствует идеальному образцу. Реальная же его величина зависит, как отмечалось выше, от геометрии, размеров и состояния поверхности образца, учитываемых коэффициентами К-1, es и b, соответственно. Для этого необходимо предел усталости при симметричном нагружении уменьшить в раз, или, что тоже самое, амплитудное напряжение цикла увеличить в раз. И тогда (9.7) принимает вид:

, (9.8)

где

. (9.9)

Примеры.

Пример 1. Определить опорные реакции для двухопорного бруса с нагрузками, изображенными на рис.1.7.


Рис.1.7

Выполним все 5 этапов решения задачи:

1. На рис.1.7 а изображена исходная схема.

2. Под исходной схемой изображаем расчетную схему, на которой вместо опор указаны возможные опорные реакции.

3. Запишем систему уравнений равновесия для расчетной схемы и найдем неизвестные опорные реакции:

Σ(Fz)i = 0 Za = 0

ΣMт.а=0 -30 кн . 1 м + 90 кнм + 20 кн . 6 м + Yb . 5 м =0 Yb =-36 кн

ΣMт.b=0 30 кн . 4 м + 90 кнм + 20 кн . 1 м – Ya . 5 м =0 Ya = 46 кн

4. Нанесем найденные значения на расчетную схему и изменим направление опорной реакции Yb на противоположное, так как она получилась со знаком «- ».

5. В качестве проверочного уравнения удобно использовать уравнение:

Σ(Fy)i = 0 46 кн – 30 кн – 36 кн + 20 кн = 0 

Действительно, проверочное уравнение при подстановке найденных значений опорных реакции обратилось в 0.

Ответ: Za = 0 Ya = 46 кн Yb = 36 кн,

Замечание: При решении данной задачи было использовано:

- правило знаков – момент, вращающий против часовой стрелки – положителен, по часовой стрелке – отрицателен.

- равномерно распределенную нагрузку заменили эквивалентной сосредоточенной силой приложенной в середине отрезка и равной интенсивности распределенной нагрузки, умноженной на длину, по которой действует распределенная нагрузка.


Пример 2. Определить опорные реакции для бруса, закрепленного в жесткой заделке.

Рис.1.8

Выполним все 5 этапов решения задачи:

1. На рис.1.8 а изображена исходная схема.

2. Под исходной схемой изображена расчетная схема, на которой вместо опор указаны возможные опорные реакции.

3. Запишем систему уравнений равновесия для расчетной схемы и найдем неизвестные опорные реакции:

Σ(Fz)i = 0 Za = 0

Σ(Fy)i = 0 Ya – 20 кн + 50 кн = 0 Ya = -30 кн

ΣMт.а=0 Ma – 20 кн . 2 м + 50 кн . 3 м – 70 кнм = 0 Ma = - 40 кнм

4. Нанесем найденные значения на расчетную схему и изменим направление опорной реакции Ya и Ma на противоположные, так как они получились со знаком «- ».

5. В качестве проверочного уравнения будем использовать уравнение для суммы моментов относительно любой точки кроме a. Удобно взять точку, где приложена сосредоточенная сила, чтобы она не вошла в уравнение, например, точка С.

ΣMт.С =0 - 40 кнм + 30 кн . 3 м + 20 кн . 1 м – 70 кнм = 0

Действительно, проверочное уравнение при подстановке найденных опорных реакций обратилось в 0.

Направления действия найденных опорных реакций указаны на рис.1.8.

Ответ: Za = 0 Ya = 30 кн Ma = 40 кнм .

Для цветных металлов и для закаленных до высокой твердости сталей, так как они разрушаются при любом значении напряжений, вводится понятие условного предела усталости.

При расчетах на усталостную прочность, особенности, связанные с качеством обработки поверхности детали, учитываются коэффициентом качества поверхности, получаемом при симметричных циклах нагружения: , (9.4).

Аналогичным образом могут быть получены соотношения усталостной прочности и при чистом сдвиге. Эксперименты показывают, что диаграмма усталостной прочности для сдвига заметно отличается от прямой линии, свойственной простому растяжению-сжатию, и имеет вид кривой.

Для цилиндрической клапанной пружины (рис.9.9) двигателя внутреннего сгорания определить коэффициент запаса прочности аналитически и проверить его графически по диаграмме предельных амплитуд, построенной строго в масштабе.

Определение коэффициента запаса прочности. Деталь (пружина) может перейти в предельное состояние по усталости и по причине развития пластических деформаций. Коэффициент запаса прочности по усталости определяются по формулам (9.10): ,

Основы теории упругости и пластичности Напряженное состояние в точке.Уравнения равновесия.

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М., Высшая школа, 1995 2. Атаров Н.М., Насонкин Ю.Д. Примеры решения задач по сопротивлению материалов. М., МИСИ им.В.В.Куйбышева, ч.1, 1988, ч.2, 1989. 3. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М., АСВ, 1995. 4. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А., Павлов В.В. Сопротивление материалов с основами строительной механики. М., АСВ, ч.1, 1999. 5. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А., Павлов В.В. Сопротивление материалов с основами строительной механики. М., АСВ, ч.2, 1999. 6. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А., Павлов В.В. Сопротивление материалов с основами строительной механики. М., АСВ, ч.3, 2000. 7. Павлов В.В.,Шаблинский Г.Э. и др. Методические указания к выполнению лабораторного практикума по сопротивлению материалов. М., МИСИ, 1985.
Прочность толстостенной цилиндрической оболочки