Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Аппарат дифференциальных уравнений в экономике Элементы линейного программирования

Элементы программирования в экономике

Модель производственных запасов

В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии. Будем считать, что поступление товаров происходит непрерывно. Модель задачи в этом случае называют моделью производственных поставок. Обозначим через р скорость поступающего на склад товара. Эта величина равна количеству товаров, выпускаемых производственной линией за год. Остальные обозначения и предположения те же, что и для основной модели управления запасами.

Определим оптимальный размер партии, минимизирующий общие затраты.

График изменения модели производственных запасов представлен на рис. 33.4.

Элементы аналитической геометрии в n-мерном пространстве Дано n-мерное пространство, точки которого имеют координаты (x1, x2, . . . ,xп). Определение. Множество точек n-мерного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению где хотя бы одно из чисел а1, a2, ..., an отлично от нуля, называется гиперплоскостью п-мерного пространства.

Общие издержки в течение года, как и для основной модели, составляют

Для получения среднего уровня запасов следует учесть, что

RT = (p — g)t — максимальный уровень запасов,

q = pt — количество товаров в одной производственной поставке.

Тогда средний уровень запасов составляет половину максимального и равен

В итоге

Решая уравнение dC/dq = 0, найдем оптимальный размер партии модели производственных поставок:

Модель запасов, включающая штрафы

Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.

Пусть предприятие должно поставить q ед. товара в течение каждого промежутка времени L, за единицу времени поставляется g ед. товара (q = Lg).

Предположим, что в начале каждого периода L предприятие делает запас, равный k. Это означает, что в течение периода будет наблюдаться дефицит товара и некоторое время поставки не будут осуществляться. Невыполненные заявки будут накапливаться до максимальной величины q — k и будут удовлетворены, как только поступит следующая партия товаров в количестве q.

За то, что товары доставляются предприятием позже необходимого срока, на предприятие налагается штраф, который зависит от того, насколько была задержана поставка. Такая модель целесообразна, поскольку иногда выгоднее заплатить штраф, чем расходовать дополнительные средства на хранение запасов, превышающих величину k.

Задача управления запасами состоит в том, чтобы выбрать такое значение k, которое ведет к минимизации всех затрат, включая затраты на хранение и штрафы.

График изменения запасов модели представлен на рис. 33.5.

Для определения оптимального значения k обозначим:

h — издержки хранения единицы товара за единицу времени;

р — затраты на штраф в расчете на единицу товара за один день отсрочки.

Найдем издержки одного цикла:

где С1 — общие издержки содержания запасов; С2 — общие затраты на штраф.

Так как товары находятся на складе в течение периода ОА (см. рис. 33.5), средний уровень запасов за этот период равен k/2. Если продолжительность периода ОА равна k/g, то

Так как штраф выплачивается в течение периода АВ = (q — k)/g, общее число "товаро-дней", на которые налагается штраф, равно площади треугольника АВС. Площадь составляет

откуда С2 = p(q — k)2/2g.

Окончательно

Найдем dC/dk и, решив уравнение dC/dk = 0, получим оптимальное значение:

Взяв kопт в качестве уровня запасов в начале каждого цикла при условии, что невыполненные заявки будут удовлетворены, сведем суммарные расходы С к минимуму:

 

Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами

Решим задачу с применением основной модели управления запасами.

Пример 1. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год. Организационные издержки для одной партии составляют 20 тыс. р. Цена единицы товара равна 1 тыс. р., а издержки содержания телевизоров составляют 0,1 тыс. р. за один телевизор в год.

Найти оптимальный размер партии, число поставок и продолжительность цикла.

Решение. По условию задачи g = 2000, b = 20, s = 1, h = 0,1.

Общие издержки в течение года:

Ответ. Оптимальный размер партии составляет 894 телевизора, число поставок — 2,24, продолжительность цикла — 163 дня.

Рассмотрим задачу с применением модели производственных поставок.

Пример 2. Интенсивность равномерного спроса выпускаемых фирмой видеомагнитофонов составляет 2000 шт. в год. Организационные издержки равны 20 тыс. р. Цена видеомагнитофона составляет 1 тыс. р., издержки хранения равны 0,1 тыс. р. в расчете на один видеомагнитофон в год. Запасы на складе пополняются со скоростью 4000 видеомагнитофонов в год. Производственная линия начинает действовать, как только уровень запасов на складе становится равным нулю, и продолжает работу до тех пор, пока не будет произведено q видеомагнитофонов.

Найти размер партии, который минимизирует все затраты. Определить число поставок в течение года, время, в течение которого продолжается поставка, продолжительность цикла, максимальный уровень запасов и средний уровень запасов при условии, что размер поставки оптимален.

Решение. Данная модель задачи является моделью производственных поставок со следующими параметрами:

График изменения запасов представлен на рис. 33.6.

Число партий в течение года:

Продолжительность поставки:

Продолжительность цикла:

Максимальный уровень запасов:

Средний уровень запасов:

Уравнение издержек:

Решив уравнение dC/dq = 0, получим qопт = = 1265 видеомагнитофонов.

Найдем оптимальные значения поставок, продолжительность поставки, продолжительность цикла:

Ответ. За каждую поставку необходимо доставлять на склад 1265 видеомагнитофонов, оптимальное число поставок составляет 1,6, продолжительность поставки — 115 дней, продолжительность цикла — 230 дней.

УПРАЖНЕНИЯ

33.1. В течение 10 дней наблюдалось следующее изменение запасов:

первоначальный запас равен нулю, в следующие двое суток товары поступали на склад непрерывно и равномерно по 500 шт. в день, расходования запасов не происходило;

в следующие четыре дня спрос на имеющиеся в запасе товары был непрерывным и равномерным и равнялся 250 шт. в день, пополнения запасов не происходило;

в следующие четыре дня потребность в товарах изменилась до 200 шт. в день, с целью удовлетворения спроса и пополнения запасов ежедневно на склад доставлялось 300 шт. (поставки на склад и со склада происходили равномерно и непрерывно).

Нарисуйте график изменения запасов для 10-дневного периода, определите величину запасов на складе к концу периода. Вычислите средний уровень запасов для всего периода.

33.2. Фирме по строительству судов требуется 20000 заклепок в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 0,5 тыс. р. за партию, цена одной заклепки — 10 р. Издержки на хранение одной заклепки оценены в 12,5% ее стоимости.

Найти оптимальный размер партии поставки, оптимальную продолжительность цикла и оптимальное число поставок за год.

33.3. Известно, что издержки выполнения заказа — 2 ден. ед., количество товара, реализованного за год, — 1000 шт., закупочная цена единицы товара — 5 ден. ед., издержки хранения — 20% от закупочной цены.

Определить наиболее оптимальный размер заказа.

33.4. Система управления запасами некоторого товара подчиняется основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью спрос составляет 15000 ед. товара, издержки на организацию поставки составляют 10 р. на партию, цена единицы товара — 30 р., а издержки на ее хранение — 7,5 р. в год.

Найти оптимальный размер партии, число поставок, продолжительность цикла.

33.5. Интенсивность равномерного спроса — 2000 ед. товара в год. Организационные издержки для одной партии — 20 тыс. р., цена единицы товара — 1 тыс. р., издержки содержания запаса — 100 р. за единицу товара в год.

Найти оптимальный размер партии, предполагая, что система описывается основной моделью.

33.6. Предприниматель имеет стабильный месячный спрос на товар в количестве 50 ед. Товар он покупает у поставщика по цене 6 ден. ед. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае 10 ден. ед.

Как часто предприниматель должен пополнять свой запас товаров, если затраты на хранение равны 20% цены товара?

33.7. Фирма вместо оптимального значения партии товара q в основной модели поставок заказала на 50% больше.

На сколько изменятся общие издержки на содержание запасов и организацию поставок по сравнению с оптимальным вариантом поставок товара?

33.8. Фирма вместо оптимального значения партии товара q в основной модели поставок заказала на 50% меньше.

На сколько изменятся общие издержки на содержание запасов и организацию поставок по сравнению с оптимальным вариантом поставок товара?

33.9. Известно, что издержки выполнения заказа равны 10 ден. ед., годовой спрос на товар — 1470 т, оптимальный размер партии поставки — 35 т. Определить годовые затраты на выполнение заказа.

33.10. Пользующийся спросом товар продается со средней скоростью 45 ед. в день, а производится со скоростью 450 ед. в день. Затраты на организацию и доставку товара составляют 5 тыс. р. за партию, издержки хранения запасов равны 20% стоимости товара. Стоимость товара складывается следующим образом: заработная плата обслуживающего персонала составляет 0,4, расходы на материалы — 0,5, накладные расходы — 0,6 (р. за единицу товара, для каждой единицы товара эти значения суммируются).

Найти оптимальный размер партии и минимальные общие затраты, связанные с образованием запаса (в расчете на единицу товара в течение года).

В году — 300 рабочих дней.

33.11. Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 20000 ед. товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 р., а издержки хранения единицы товара в течение года — 5р.

Определить оптимальный размер партии.

33.12. Система управления запасами описывается моделью производственных запасов. Спрос товара — 1500 шт. в год, цена — 200 р., издержки товара в течение года — 20 р., организационные издержки — 1000 р. В течение года может быть произведено 4500 шт. товара при полной загрузке производственной линии.

Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

33.13. Фирма, выступающая в качестве посредника, обязуется поставлять заводу по производству двигателей 5 коленчатых валов в день. Руководство фирмы решает доставлять коленчатые валы на свой склад партиями, причем в каждой содержится 150 шт. и они рассчитаны на 30-дневный срок. За один просроченный день в поставке коленчатого вала заводу фирма выплачивает штраф 200 р. Издержки хранения одного коленчатого вала были оценены в 250 р. за неделю, организационными затратами можно пренебречь.

Найти оптимальный уровень запасов и продолжительность соответствующего ему периода дефицита. Вычислите уменьшение затрат при оптимальной политике управления запасами по сравнению с политикой, когда в начале каждого периода на склад поступает 150 коленчатых валов.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

 Проиллюстрируем это на примере.

 Пример.

 

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

 Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

 Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где l - общий знаменатель m и n.

Если   - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.

3) Если   - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.

 Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

 На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида .

 Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

 Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

  Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у. 

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.


Системы линейных алгебраических уравнений