Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Аппарат дифференциальных уравнений в экономике Элементы линейного программирования

Элементы программирования в экономике

Задачи с несколькими целевыми функциями

Формулировка задачи

В рассматриваемых выше задачах линейного программирования математические модели имели одну целевую функцию, для которой находилось максимальное или минимальное значение экономического показателя. Однако на практике часто требуется найти экстремальные значения нескольких экономических показателей. В этом случае математическая модель имеет несколько целевых функций, причем некоторые из них требуют нахождения максимального, а другие — минимального значений. Поэтому ставится задача нахождения такого компромиссного (субоптимального) решения модели, в котором значения всех рассматриваемых экономических показателей были бы приближены к экстремальным значениям.

Нахождение компромиссного решения относится к многокритериальным задачам оценки оптимальности.

В настоящее время подобные задачи математически недостаточно разработаны и для практической деятельности решаются следующими способами.

Производится ранжирование показателей, т.е. расположение их в порядке значимости, важности. Затем приступают к поиску решения, оптимального по наиболее важному из них. Задавшись допустимой величиной изменения первого критерия, ищут решение по второму критерию, наилучшему в полученной области, и т.д. Порядок значимости и допустимые диапазоны выбирают произвольно.

Построение единого (интегрального) показателя эффективности посредством суммирования произведений имеющихся показателей на "весовые" коэффициенты (коэффициенты важности показателей).

Превращение всех целевых функций, кроме одной, в ограничения. Примеры решения задач Найти стационарное распределение температуры на тонкой однородной круглой пластине радиусом R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя – при температуре 0°.

Математическая модель нахождения компромиссного решения

Дана математическая модель экономической задачи, в которой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдем компромиссное решение по двум показателям, один из которых требует отыскания максимума, а другой — минимума:

при ограничениях:

где L1, L2 — значения целевых функций (экономические показатели), для упрощения записи опущены обозначения аргумента; aij, cj, dj, bi — коэффициенты; xj — переменные.

Решим задачу по каждому показателю в отдельности и найдем оптимальные значения L1max, L2min.

Проделав преобразования над целевыми функциями, получим математическую модель нахождения компромиссного решения задачи с двумя целевыми функциями:

при ограничениях:

где W — целевая функция; xn+1 — наибольшее относительное значение экономических показателей.

Математическая модель будет аналогичной в случае нахождения компромиссных решений задач, имеющих три целевые функции и более.

Рассмотрим нахождение компромиссного решения экономической задачи, математическая модель которой имеет три целевые функции.

Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях

Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых исследований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс. ед. в год. Для производства изделий используются материалы А и В, запасы которых на фирме составляют 18 и 15 т соответственно. Для изготовления 1 тыс. изделий норма расхода материала А для изделий 1-го вида составляет 3 т, а для изделий 2-го вида — 5 т. Для изготовления 1 тыс. изделий материала В расходуется: для изделий 1-го вида — 5 т, для изделий 2-го вида — 3 т. Себестоимость изделий 1-го вида — 1 ден. ед., а 2-го вида — 2 ден. ед.

Найти оптимальное решение по производству изделий 1-го и 2-го видов, чтобы прибыль и количество выпускаемых изделий были максимальными, себестоимость минимальной.

Решение. Обозначим: x1 — количество изделий 1-го вида, тыс. ед.; x2 — количество изделий 2-го вида тыс. ед.

Математическая модель задачи будет иметь вид

при ограничениях:

Решим задачу по каждой целевой функции в отдельности. Получим

Математическая модель задачи нахождения компромиссного решения:

при ограничениях:

Решая задачу на ПЭВМ, получим

Таким образом, фирме целесообразно выпускать 1,07 тыс. изделий 1-го вида и 1 тыс. изделий 2-го вида.

УПРАЖНЕНИЯ

Составить математическую модель нахождения компромиссного решения и найти его.

27.1. L1 = x1 + 2x2 → max, L2 = 4x1 + х2 → min при ограничениях:

27.2. L1 = 2x1 + x2 → max, L2 = 2x1 + x2 → min при ограничениях:

27.3. L1 = x1 + 3x2 → max, L2 = 2x1 + x2 → min при ограничениях:

27.4. L1 = 4x1 + x2 → max, L2 = x1 + 4x2 → min при ограничениях:

27.5. L1 = x1 + 3x2 → max, L2 = x1 + x2 → min при ограничениях:

27.6. L1 = 5x1 +4x2 → max, L2 = x2 → max при ограничениях:

27.7. L1 = x1 - x2 → max, L2 = x1 + 2x2 → max, L3 = 2x1 + x2 → min при ограничениях:

Пример. Найти производную функции

  Пример. Найти производную функции

  Пример. Найти производную функции

Формула прямоугольников.

 Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:

y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).

Составим суммы: y0Dx + y1Dx + … + yn-1Dx

 y1Dx + y2Dx + … + ynDx


Системы линейных алгебраических уравнений