Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Аппарат дифференциальных уравнений в экономике Элементы линейного программирования

Математическая статистика

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют характеристики, аналогичные для теоретического распределения (см. предыдущий раздел 18.6).

Асимметрия эмпирического распределения определяется следующим равенством:

Эксцесс эмпирического распределения определяется следующим равенством:

В формулы (18.62) и (18.63) входят центральные эмпирические моменты, определяемые формулами (18.61), а также выборочное среднее квадратическое отклонение (18.55).

Пример 6. Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

Решение. Найдем сначала в и σв с использованием формул (18.52)-(18.55):

Далее, используя формулы (18.61), определяем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

Затем по формулам (18.62) и (18.63) находим искомые величины:

В заключение отметим, что все оценки, приведенные выше, определяются одним числом, т.е. являются точечными. При малых объемах выборки точечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра.

УПРАЖНЕНИЯ

18.1. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — количества стандартных деталей среди отобранных.

18.2. Книга издана тиражом 100 тысяч экземпляров. Вероятность брака в книге равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

18.3. Случайная составляющая дохода равна 2Х, а случайная составляющая затрат равна 50Y. Найти дисперсию прибыли при условиях: величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами п = 100, р = 0,5; величина Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = 2; случайные величины Х и Y являются независимыми.

18.4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения

18.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — числа отказов элемента некоторого устройства — в 10 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

18.6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.

18.7. Дано распределение двумерной дискретной случайной величины (X, Y):

Найти ковариацию Cov (X, Y) и коэффициент корреляции Х и Y.

18.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg x) / π. Найти вероятность того, что величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1).

18.9. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что Х примет значения: а) менее 0,2; б) менее трех; в) не менее трех; г) не менее пяти.

18.10. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Найти функцию распределения и построить ее график.

18.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F(x).

18.12. Случайная величина Х задана на положительной полуоси Ох функцией распределения F(x) = 1 - e-ax (а > 0). Найти математическое ожидание величины X.

18.13. Случайная величина Х задана на интервале (0,5) плотностью распределения f(x) = 2.x / 25; вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию X.

18.14. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = е-|x| / 2. Найти математическое ожидание и дисперсию.

18.15. Случайная величина задана функцией распределения

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

18.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

18.17. Ребро куба х измерено приближенно в интервале (а, b). Найти математическое ожидание и дисперсию объема куба, если его ребро рассматривать как случайную величину Х с равномерным распределением на указанном интервале.

18.18. Размер мужских сорочек является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожиданием 39 и дисперсией 9. Какой процент от общего объема заказа следует предусмотреть магазину для сорочек 40-го размера воротничка при условии, что этот размер находится в интервале (39,5; 40,5)?

18.19. Найти формулу плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 3, а дисперсия равна 16.

18.20. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания Х в интервал (35, 40).

Дифференциал функции.

Понятие о дифференциале функции.

 Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

 Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Замена переменных.

 Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

 Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то


Системы линейных алгебраических уравнений