Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Аппарат дифференциальных уравнений в экономике Элементы линейного программирования

Математическая статистика

Непрерывные случайные величины

Функция распределения и ее свойства

Пусть Х — непрерывная случайная величина (см. определение 3 п. 18.1), значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя составить перечень всех возможных значений X, как это было сделано в случае дискретной случайной величины. Тем не менее существует способ задания любых видов случайных величин. Пусть х — действительное число. Обозначим вероятность события того, что Х примет значение, меньшее x, через F(x).

Определение 1. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), определяющая вероятность того, что Х примет значение, меньшее х:

Геометрический смысл приведенного определения: F(x) — это вероятность того, что случайная величина Х примет значение, изображаемое точкой на числовой оси левее точки х. По виду функции F(x) определяется и вид случайной величины. Уточним понятие непрерывной случайной величины.

Определение 2. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Таким образом, дискретную случайную величину можно считать кусочно-непрерывной.

Функция распределения обладает рядом фундаментальных свойств, указанных ниже.

Свойство 1. Область значений функции распределения лежит на отрезке [0,1]:

Свойство 2. Функция распределения является неубывающей, т.е.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины находятся на интервале (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b.

Из указанных свойств вытекают важные следствия.

1. Вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, заключенные внутри интервала (α, β), равна разности значений функции распределения на концах этого интервала:

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения непрерывной случайной величины Х расположены на всей числовой оси, то

График функции распределения непрерывной случайной величины показан на рис. 18.2.

Пример 1. Найти функцию распределения процентного изменения стоимости акций по данным примера 3 п. 18.1 и построить ее график.

Решение. Перепишем таблицу распределения дискретной случайной величины в порядке возрастания ее возможных значений:

Если х ≤ 5, то F(x) = 0. Если 5 < х ≤ 10, то F(x) = 0,1. На интервале 10 < х ≤ 15 применяем теорему сложения вероятностей, так как события Х < 10 и 10 < Х ≤ 15 несовместны: F(x) = 0,1 + 0,1 = 0,2. Аналогично определяются значения F(x) на других интервалах: при 15 < х ≤ 20 F(x) = 0,4; при 20 < х ≤ 25 F(x) = 0,7; при 25 < х ≤ 30 F(x) = 0,9; при х > 30 имеем достоверное событие (все случаи изменения стоимости акций исчерпаны), т.е. F(x) = 1. Таким образом, искомая функция распределения имеет следующую аналитическую форму записи:

График этой функции распределения показан на рис. 18.3.

Плотность распределения вероятностей и ее свойства

Определение 3. Производная от функции распределения непрерывной случайной величины Х называется плотностью распределения вероятностей X:

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или неопределенным интегралом от нее. Плотность распределения — это "скорость" изменения вероятности Р(Х < х). Из свойства 2 функции распределения следует справедливость следующей фундаментальной теоремы.

ТЕОРЕМА 5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение на интервале [α, β), определяется по формуле

Вспоминая  геометрический смысл определенного интеграла (см. п. 7.5), можно сказать, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x), снизу — осью Ох, а с краев — вертикальными прямыми х = α и х = β (рис. 18.4).

Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей устанавливается, согласно (18.32), формулой

Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность распределения X.

Решение. Функция F(x) является кусочно-дифференцируемой. Согласно формуле (18.32), дифференцируя F(x) по интервалам ее задания, получаем

Пример 3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения на всей числовой оси:

Найти вероятность того, что Х примет значение на интервале (-1, 1).

Решение. Согласно формуле (18.33), искомая вероятность равна

Плотность распределения обладает рядом свойств, основные из них указаны ниже.

Свойство 1. Плотность распределения является неотрицательной функцией:

Это следует из характера функции распределения: она является неубывающей, и, значит, ее производная неотрицательна.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах интегрирования по всей числовой оси равен единице:

Это равенство означает достоверность события, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (-,), т.е. вероятность этого события Р(- < Х < ) = 1.

Так, если все возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала (а, b), то

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Определения числовых характеристик дискретных случайных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах (18.5) и (18.10) берутся их интегральные аналоги.

Определение 4. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой находятся на отрезке [а, b], называется определенный интеграл:

В том случае, когда возможные значения случайной величины Х заполняют всю ось Ох, пределы интегрирования а и b бесконечны: а = -, b = . Возможны также случаи, когда один из пределов интегрирования бесконечен (возможные значения Х лежат на полупрямой).

Определение 5. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Все сказанное выше о случаях бесконечных пределов интегрирования остается справедливым и для дисперсии.

Среднее квадратичекое отклоенние непрерывной случайной величины определяется, как и прежде, по формуле (18.15):

σ(Х) = .

Для вычисления дисперсии употребляется более удобная формула, которая выводится из (18.37):

Пример 4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной плотностью распределения на отрезке [0, 1]:

Решение. Согласно формулам (18.36), (18.38) и (18.15) последовательно вычисляем искомые величины:

Пример 5. Найти основные числовые характеристики непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения на положительной полуоси Ох:

Решение. Найдем сначала плотность распределения:

Затем, как и в предыдущем примере, вычисляем соответствуцющие интегралы; при их вычислении применяем правило интегрирования по частям для определенного интеграла. В итоге получаем искомые величины:

Первообразная и неопределённый интеграл.

Первообразная функция.

 Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

 Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неопределенный интеграл.

 Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

 Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 Свойства:

1.

2.

3.

4.   где u, v, w – некоторые функции от х.

Пример:

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Замена переменных.

 Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

 Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то


Системы линейных алгебраических уравнений