Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Применение элементов линейной алгебры в экономике

Схема независимых испытаний

Формула Бернулли

Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А.

Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 - p. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится k раз и не осуществится п - k раз.

Вероятность этого сложного события, состоящего из п испытаний, определяется формулой Бернулли

Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не менее двух раз.

Решение. Вероятности выпадения любой из двух сторон монеты одинаковы, т.е. р = q = 0,5. 1) В этом случае п = 6, k = 2. Отсюда согласно формуле (17.16) получаем

Пример 2. Вероятность покупки бракованного комплекта посуды равна 0,1. Найти вероятность того, что из 7 купленных комплектов 5 будет без брака.

Решение. Вероятность покупки комплекта без брака р = 0,9, q = 0,1 — это дано по условию задачи. Тогда искомая вероятность находится по формуле (17.16):

Пример 3. Контрольный тест состоит из 4 вопросов. На каждый вопрос предлагается 4 варианта ответа, среди которых только один правильный. Найти вероятность правильного ответа на два, три и четыре вопроса теста для неподготовленного человека (выбор ответа наудачу).

Решение. Искомые значения вероятности находятся по формуле Бернулли (17.16) с учетом того, что вероятность события А (правильный ответ) в каждом испытании (выбор ответа на вопрос теста) равна 0,25, а q = 0,75. Отсюда получаем:

Локальная теорема Лапласа

Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду увеличения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следующей локальной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность Pn(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции φ(x):

Точность формулы (17.17) возрастает с увеличением п. Имеются таблицы с вычисленными значениями функции φ(x) (см. Приложение), по которым можно с достаточно высокой степенью точности найти практически любое значение этой функции, а значит, и вычислить нужную вероятность. Поскольку функция φ(x) четная,то в таблицах даются ее значения только для положительных значений х; иными словами, знак аргумента не играет роли. Формула (17.17) носит название асимтотической формулы.

Пример 4. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет ровно 60 изделий без брака.

Решение. Вероятность появления события А в одном испытании (изделие без брака) р = 0,7, тогда q = 0,3, в нашем случае п = 100, k = 60. Последовательно вычисляем:

Теперь для найденного аргумента х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ(x); оно равно 0,0371. Подстановка этого числа в формулу (17.17) дает приближенное значение искомой вероятности:

Интегральная теорема Лапласа

Опять предположим, что в каждом из произведенных п испытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употребимы определения вероятности события А в п испытаниях, когда k изменяется в заданном интервале значений: l < k < т. Соответствующую вероятность обозначают Рп(l, т). Формула для приближенного вычисления этой вероятности устанавливается следующей интегральной теоремой Лапласа.

ТЕОРЕМА 8. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в п испытаниях от l до т раз, приближенно равна определенному интегралу:

Формула (17.18), как и (17.17), применима в случае больших значений п и k. При вычислениях по этой формуле пользуются специальными таблицами для интеграла

поскольку соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Функцию Ф(x) часто называют интегралом ошибок, соответствующая таблица ее значений приведена в Приложении. Эта функция является нечетной, поэтому в таблицах обычно приводят значения Ф(x) для положительных значений верхнего предела интегрирования х. Более удобно использовать формулу (17.18) в виде формулы Ньютона-Лейбница:

Пример 5. Вероятность выпуска бракованных деталей равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных деталей будет не менее 75 стандартных.

Решение. По условию задачи р = 0,7, q = 0,3, n = 100. Условие "не менее" означает, что число стандартных деталей k заключено в пределах от l = 75 до т = 100. Согласно формуле (17.19) производим предварительные вычисления:

Далее по табл. 2 Приложения находим соответствующие значения интегральной функции Ф(x), подставляем их в формулу (17.19) и получаем значение искомой вероятности:

Пример 6. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р., вероятность несчастного случая р = 0,005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р: 1) 0,9, 2) 0,995.

Решение. Прибыль компании зависит от числа страховых выплат k при несчастных случаях. Будем полагать, что величина ее равна разности между суммами страховых взносов и страховых выплат:

Теперь задача состоит в нахождении такого числа N, чтобы вероятность несчастного случая Р10 000(k > N) была не больше заданной величины 1 — Р, или, что то же самое, чтобы выполнялось условие

Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит (20 - 0,2N) млн р. Предварительные вычисления значений аргумента функции Ф(x) при п = 10 000, l = N и m = 10 000 по формулам (17.19) дают:

Из табл. 2 находим, что Ф(x) = 0,5 при |x| > 5. Подставляя в указанное выше неравенство, получаем

1. В этом случае имеем неравенство

По табл. 2 находим, что при значении функции Ф = 0,4 аргумент х равен 1,28; поскольку функция Ф(x) является монотонно возрастающей, то неравенство между значениями Ф(x) переходит в неравенство такого же смысла и для соответствующих аргументов:

Отсюда получаем, что N ≥ 50 + 9,02, или N ≥ 60. В этом случае с вероятностью 0,9 страховой компании гарантирована прибыль

2. Проводя для этого случая аналогичные вычисления, получим

Из табл. 2 находим, что при Ф(x) = 0,495 аргумент х = 2,57, т.е.

Из последнего неравенства получаем N ≥ 69, и в этом случае с вероятностью 0,995 компании гарантирована прибыль

Из решенной задачи хорошо видно, что увеличение риска страхования может привести к возрастанию прибыли компании. Это есть реализация известного принципа в предпринимательской деятельности: менее рискованные, но более надежные финансовые операции не приносят сверхприбылей.

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности

Определение 2. Отношение числа испытаний в которых событие А появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой события

где m — число появлений события A, n — общее число испытаний.

Разница между вероятностью и относительной частотой состоит в том, что первая вычисляется до опыта, а вторая — после него. Одной из важных характеристик независимых испытаний с постоянной вероятностью появления события А в каждом испытании (0 < р < 1) является отклонение относи тельной частоты от вероятности р. Вероятность того, что это отклонение не превышает по модулю заданного числа ε:

определяется формулой

Пример 7. Вероятность получения нестандартной детали р = 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно взятых 200 деталей относительная частота появления нестандартной детали отклонится от вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. В данном случае п = 200, q = 0,9, ε = 0,03. По формуле (17.20) имеем

Смысл полученного результата состоит в том, что при достаточно большом числе проб, каждая из которых содержит 200 случайно выбранных деталей, в 84% случаев отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р = 0,1 по абсолютной величине не превысит 0,03.

УПРАЖНЕНИЯ

17.1. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей.

17.2. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несения караула выделяются по два человека. Можно ли составить расписание караульной службы так, чтобы никакая пара военнослужащих этого взвода не несла караульную службу дважды?

17.3. Два букиниста обмениваются друг с другом парами книг. Найти число способов обмена, если первый букинист обменивает 6 книг, а второй — 8 книг.

17.4. Абонент забыл две промежуточные цифры номера телефона и набрал их наугад. Найти вероятность того, что номер набран правильно в случаях: а) две разные цифры расположены в номере рядом; б) обе цифры расположены в разных местах, за исключением первой позиции.

17.5. В урне находится 10 шаров, 7 из которых белые. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.

17.6. В ящике имеется 15 деталей, из которых 10 стандартных. Сборщик наугад берет 3 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали будут стандартными.

17.7. В урне 40 шаров: 15 белых, 15 красных и 10 синих. Найти вероятность появления цветного шара.

17.8. Абонент забыл первую цифру телефонного номера. Найти вероятность того, что при наборе номера наудачу он наберет его верно не более чем с трех попыток.

17.9. В лотерее разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных выигрышей на каждые 10 тыс. билетов. Чему равна вероятность выигрыша вообще?

17.10. В условиях примера 17.7 из урны извлекают один шар, не возвращая его обратно, затем извлекают второй. Найти вероятность извлечения из урны во второй раз цветного шара.

17.11. В читальном зале имеется 6 учебников, из которых три нового выпуска. Читатель последовательно, один за другим, взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обе взятые книги нового выпуска.

17.12. Три автомашины направлены на перевозку груза. Вероятность исправного состояния первой из них составляет 0,7, второй — 0,8 и третьей — 0,5. Найти вероятность того, что все три автомашины находятся в эксплуатации.

17.13. В автохозяйстве имеются две автоцистерны. Вероятность технической исправности этих машин составляет соответственно 0,9 и 0,8. Найти вероятность исполнения работы второй автоцистерной заказчику, сделавшему накануне заказ на автоцистерну.

17.14. Инвестор решил вложить поровну средства в три предприятия при условии возврата ему через определенный срок 150% от вложенной суммы каждым предприятием. Вероятность банкротства каждого из предприятий 0,2. Найти вероятность того, что по истечении срока кредитования инвестор получит обратно по крайней мере вложенную сумму.

Указание. См. формулу (17.11) и пример 1 из п. 17.4.

17.15. При проверке изделия на соответствие стандарту вероятность того, что оно пройдет через первого контролера, равна 0,55, а через второго — 0,45. Вероятность признания бездефектного изделия стандартным у первого контролера равна 0,9, а у второго — 0,98. Бездефектное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие прошло через второго контролера.

17.16. В одном из ящиков находится 7 деталей, из которых 3 нестандартные; в другом — 5 деталей, из них 2 нестандартные. Из первого ящика наугад перекладывают деталь во второй ящик, потом из него берут деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется нестандартной.

17.17. Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок поразил цель, если вероятности попадания в цель стрелками соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.

17.18. Определить, что вероятнее для соперников равной силы при игре в шахматы: выиграть одну партию из двух или две партии из четырех.

17.19. Монету бросают пять раз. Найти вероятность выпадения одной из сторон: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

17.20. Вероятность выпуска стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 деталей будет ровно 75 стандартных.

17.21. Вероятность рождения девочки равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек.

17.22. Вероятность появления события равна 0,7 в каждом из 2100 независимых испытаний. Найти вероятность появления события: а) не менее 1470 раз; б) не менее 1470 и не более 1500 раз; в) не более 1469 раз.

17.23. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрослого человека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, среди какого числа взрослых человек можно ожидать, что в поликлинику будет не менее 75 обращений.

17.24. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0,01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью: а) 0,8; б) 0,995?

17.25. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,02 по абсолютной величине.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

  Пример.

 Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

 Пример.

 

 Пример.

Теорема Ньютона-Лейбница.

 Пусть в интеграле  нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

  Обозначим  = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

  Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

  Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.


Основы дифференциального исчисления