Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Применение элементов линейной алгебры в экономике

Теорема сложения вероятностей

Несовместные события

Определение 1. Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В, либо событий A и В одновременно.

Это определение напоминает сумму множеств (см. гл. 1) и используется в теоретико-множественном подходе теории вероятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события А и В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А + В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в появлении хотя бы одного из этих событий.

ТЕОРЕМА 1. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области соответственно равны 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую зоны.

Решение. Пусть событие А — попадание в первую зону мишени, а событие В — попадание во вторую зону мишени. Эти события несовместны, поэтому применимы теорема 17.1 и формула (17.3) сложения вероятностей. Искомая вероятность равна

Полная группа событий

ТЕОРЕМА 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Пример 2. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного изделия образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, и тогда искомая вероятность равна 0,95.

Противоположные события

Определение 2. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы 17.2 следует, что

Например, если при стрельбе по мишени попадание — это событие А, то событие   — это промах; сумма их вероятностей равна единице — при выстреле обязательно будет либо попадание, либо промах. То же самое и при подбрасывании монеты: обязательно выпадет либо орел, либо решка.

Пример 3. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 3-х телевизоров будет хотя бы один неисправный.

Решение. События "среди взятых телевизоров нет ни одного неисправного" и "есть хотя бы один неисправный" — противоположные. Первое из них обозначим через А, а второе — через . Общее число способов, которыми можно взять 3 изделия из десяти, равно C. Число исправных телевизоров равно 8, число способов выборки из них трех изделий равно C, так что вероятность Р(А) = C. Искомая вероятность определяется из формулы (17.4):

Теорема умножения вероятностей

Произведение событий и условная вероятность

Определение 1. Произведением двух событий А и В называется событие АВ, означающее совместное появление этих событий (см. гл. 1.1, произведение множеств).

Например, если событие А — шар, событие В — белый цвет, то их произведение АВ — белый шар. Аналогично определяется произведение нескольких событий, как совместное появление их всех.

Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений кроме необходимого комплекса условий S не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Если же налагаются другие дополнительные условия, содержащие случайные события, то вероятность такого события называется условной.

Определение 2. Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью РA(В).

Пример 1. В ящике лежит 11 деталей, 3 из них нестандартные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь — событие В, если в первый раз была извлечена нестандартная деталь — событие А.

Решение. После первого извлечения в ящике из 10 деталей осталось 8 стандартных, и, следовательно, искомая вероятность

Пусть теперь известны вероятность Р(А) события А и условная вероятность РА(В) события В. Тогда справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой

Пример 2. В условиях примера 1 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандартная, и наоборот.

Решение. Итак, событие А — это извлечение из ящика нестандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда возможны два случая. 1) Вероятность Р(А) = 3/11, а условная вероятность РA(В) = 0,8. Искомая вероятность произведения этих событий (их совместного появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 17.3,

2) Вероятность Р(В) = 8/11, а условная вероятность РB(А) = 0,3. Мы видим, что и в этом случае вероятность произведения событий Р(ВА) = Р(В)РB(А) ≈ 0,22.

В этом примере мы проверили известное в теории равенство

Теорема 17.3 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий A1, А2, А3, ..., An:

т.е. вероятность совместного появления п событий равна произведению п вероятностей, где PA1A2...Ak-1(Ak) — условные вероятности событий Ak в предположении, что события A1A2 ... Ak-1 уже произошли (k = 1, 2, ... , п).

Пример 3. В урне находится 4 белых шара, 5 красных и 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз — красный (событие В), в третий — синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении Р(А) = 1/3; условная вероятность появления красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара РA(В) = 5/11; условная вероятность появления синего шара в третьем извлечении при условиях появления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров РAB(С) = 0,3. Искомая вероятность определяется по формуле (17.6) при п = 3:

Независимые события

Определение 3. Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (появление события А не влияет на вероятность события В):

Отсюда следует, что и событие А также независимо от события В:

Для независимых событий теорема умножения вероятностей 17.3 в общей форме, которая следует из (17.6), имеет вид

Равенство (17.7) принимается за определение независимых событий. При этом если события независимы, то независимы также и соответствующие им противоположные события.

Пример 4. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,7 (события А, B и С).

Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле (17.7), при n = 3:

Когда в результате испытания может иметь место n независимых событий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятности наступления хотя бы одного из них (например, в случае трех событий найти вероятность наступления либо одного, либо двух, либо трех событий). Обозначим это событие через А. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А1, A2, ... , Аn определяется формулой

где qi = 1 — pi — вероятности соответствующих противоположных событий i (i = 1, 2,... , n).

В частном случае, когда все события Аi имеют одинаковую вероятность р, из формулы (17.8) следует, что

Пример 5. В условиях примера 4 найти вероятность поражения цели (хотя бы одного попадания) при залповой стрельбе орудий.

Решение. Вероятности противоположных событий (промахов) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3. Искомая вероятность находится по формуле (17.8) при п = 3:

Из этого примера наглядно видно преимущество совместного воздействия случайных событий с целью достижения общего результата.

Пример 6. На перевозку груза направлены 4 автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.

Решение. Вероятность противоположного события (машина неисправна) равна q = 1 - 0,8 = 0,2. По формуле (17.9) находим искомую вероятность при n = 4:

Пример 7. Вероятность обслуживания клиента одним операционистом в банке равна 0,6. Какое минимальное число операционистов должно работать в банке, чтобы вероятность обслуживания клиента была не менее 0,95?

Решение. Вероятность противоположного события (отказ в обслуживании клиента операционистом) равна 0,4. Пусть n — количество операционистов, удовлетворяющее условию задачи, т.е.

Решая это неравенство, получаем

Логарифмирование обеих частей этого неравенства дает

Поскольку n должно быть целым числом, окончательно получаем, что в банке должны работать не менее 4 операционистов.

Пример.

  Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

 Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

 Пример.

Теорема Ньютона-Лейбница.

 Пусть в интеграле  нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

  Обозначим  = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

  Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

  Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.


Основы дифференциального исчисления