Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Применение элементов линейной алгебры в экономике

Линейная модель торговли

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Пусть aij — доля бюджета xj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов aij:

Тогда если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (можно это трактовать как торговый бюджет), то справедливо равенство

Матрица (16.12) со свойством (16.13), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. Pi ≥ xi:, или

Докажем, что в условиях (16.14) не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов xj, получаем

Нетрудно видеть, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам от первого до последнего, которые равны единице по условию (16.13). Стало быть, мы получили неравенство

откуда возможен только знак равенства.

Таким образом, условия (16.14) принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны; тогда систему уравнений (16.15) можно записать в матричной форме

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению λ = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (16.16) в виде, позволяющем определить :

Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

Решение. Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению λ = 1 заданной структурной матрицы А, т.е. решить уравнение (16.17), которое в нашем случае имеет вид

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора :

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 1210, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):

УПРАЖНЕНИЯ

16.1. По данным табл. 16.1 составить новую таблицу производственно-экономических показателей по следующим условиям:

— количество изделий всех видов увеличивается на 20%,

— норма времени изготовления по всем изделиям уменьшается на 20%,

— цена на все виды изделий уменьшается на 10%.

Найти ежесуточные показатели, указанные в задаче 1 п. 16.1, а также их процентные изменения.

16.2. По данным табл. 16.2 составить новую таблицу по следующим условиям:

— дневная производительность всех предприятий увеличивается на 100%,

— число рабочих дней в году для 1-го предприятия увеличивается на 50%, а для остальных — на 40%,

— цены на виды сырья уменьшаются соответственно на 10, 20 и 30%.

Определить суммы кредитования предприятий и их соответствующие процентные изменения.

16.3. Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид

Найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

16.4. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья, характеристики производства указаны в следующей таблице:

Найти объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

16.5. В условиях примера 2 п. 16.2 определить прирост объемов валовых выпусков по каждой отрасли (в процентах), если конечное потребление увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%. Решить задачу методом обратной матрицы и методом Гаусса.

16.6. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид

Найти бюджеты первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.

Пример. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

  Пример. Найти производную функции .

Теорема Ньютона-Лейбница.

 Пусть в интеграле  нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

  Обозначим  = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

  Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

  Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.


Основы дифференциального исчисления