Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Основы математики Вычисление интеграла

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P(t).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены Р и ее производных:

Принятые в (11.20) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.

1. Спрос "подогревается" темпом изменения цены: если темп растет (Р" > 0), то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус. Теорема. Всякая выпуклая (вогнутая) кривая имеет в каждой точке правую и левую касательные.

2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р" в функции S(t) больше, чем в D(t). Рост цены также увеличивает предложение, потому слагаемое, содержащее Р', входит в выражение для S(t) со знаком плюс.

Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S, приравняем правые части уравнений (11.20). После приведения подобных получаем

Соотношение (11.21) представляет линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P(t). Как было установлено в п. 10.3, общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид

Его корни — комплексно-сопряженные числа: k1,2 = -1 ± 2i, и, следовательно, общее решение уравнения (11.22) дается формулой

где С1 и С2 — произвольные постоянные. В качестве частного решения неоднородного уравнения (11.21) возьмем решение Р = Pst — постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (11.21) дает значение Pst:

Таким образом, общее решение уравнения (11.21) имеет вид

Нетрудно видеть, что P(t)  Pst = 3 при t  , т.е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене Pst с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

Приведем частные решения этой задачи в двух вариантах: задача Коши и смешанная задача.

1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени известна цена, а также тенденция ее изменения:

Подставляя первое условие в формулу (11.23), получаем Р(0) = С1 + 3 = 4, откуда С1 = 1, т.е. имеем

Дифференцируя, имеем отсюда

Теперь реализуем второе условие задачи Коши: Р'(0) = 2C2 — 1 = 1, откуда C2 = 1. Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид

или в более удобной форме:

Рис.11.5

2. Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цена и спрос:

Поскольку первое начальное условие такое же, как и в предыдущем случае, то имеем и здесь решение (11.24). Тогда производные функции Р(t) выражаются формулами

Отсюда Р'(0) =2C2 - 1 и Р"(0) = -4C2 - 3. Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т.е. D(0) = 16, имеем с учетом вида D(t) из первой формулы (11.20): С2 = -1. Итак, решение данной задачи имеет вид

или в более удобной форме:

Интегральные кривые, соответствующие задачам 1 и 2, изображены на рис. 11.5.

УПРАЖНЕНИЯ

11.1. Используя формулу (11.13) динамики национального дохода Y(t) по модели Кейнса,

а) проанализировать роль каждого параметра в увеличении величины Yр согласно формуле (11.12), что ведет к падению Y(t);

б) вывести рекомендации по изменению параметров, описывающих основные экономические показатели;

в) выбрать более предпочтительные изменения, указанные в п. б, применительно к условиям России.

11.2. Найти динамику цены Р на товар, если прогноз спроса и предложения описывается следующими соотношениями:

11.3. В условиях предыдущей задачи какой из трех случаев описывает паническое состояние на рынке и с чем это связано?

Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

 Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

 Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

 Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

 Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если   , то

 Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 Обозначение :


Основы дифференциального исчисления