Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Основы математики Вычисление интеграла

Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия теории

Определение 1. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где х — независимая переменная, у — искомая функция, у' и у" — соответственно ее первая и вторая производные.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной: Производная степенной функции. Если f(x) = xp, где p - действительное число, то Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x−p, то .

Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (10.1) называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у') и ее частные производные  и , непрерывны в некоторой области D пространства переменных (x, у, у'). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у'0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее условиям:

Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (x0, y0) на координатной плоскости Оху проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом y0' касательной (рис. 10.1).

Условия (10.3) называются начальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D называется функция у = φ(х, С1, С2), если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: у = φ(х, С10, С20).

Рассмотрим для пояснения уравнение у" = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:

где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

т.е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2

откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное решение — это прямая у = х + 1.

10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.

1. Уравнение вида

Введем новую функцию z(x) путем замены z(x) = у'. Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: z' = f(x), решением которого является функция z(х) =  f(x) dx + С1. Поскольку z(x) = у', то повторным интегрированием находим общее решение уравнения (10.4):

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

т.е. уравнение не содержит в явном виде у. Как и в предыдущем случае, положим z(x) = у'. Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида z' = f(x, z). Найдя общее решение этого уравнения z = φ(x, C1), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (10.5):

где С1 и С2 — произвольные постоянные.

3. Уравнение вида

т.е. уравнение не содержит независимой переменной x. Здесь мы вводим новую функцию, зависящую от у, полагая z(y) = у'. Тогда, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции

то уравнение (10.6) преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции z(y):

Пусть общее решение этого уравнения z = φ(у, С1). Тогда обратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х)

из которого методом разделения переменных получаем функциональное соотношение для определения общего решения уравнения (10.6):

где С1 и C2 — произвольные постоянные.

Рассмотрим два примера решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение. Это уравнение вида (10.5), поскольку оно не содержит в явном виде у. Заменой z(x) = у' приведем его к уравнению первого порядка  = -xz2, откуда имеем z = , или у' = . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения:

где С1 и С2 — произвольные постоянные. В зависимости от выбора знака С1 интеграл в правой части этого равенства (обозначим его через I) может иметь разные выражения:

Решение. Это уравнение вида (10.6), т.е. оно не содержит явно независимой переменной х. Заменой z(y) = у' сведем его к уравнению первого порядка

Первое решение этого уравнения z = 0, или у = С, где С — постоянная величина. Сокращая после этого обе части уравнения на z, получаем  — z = 0. Решение этого уравнения методом разделения переменных у и z дает z = С1ey. Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка

Разделение переменных x и у приводит к общему решению исходного уравнения: e-ydy = C1dx, откуда e-y = С1х + С2, или окончательно

где С1 и С2 — произвольные постоянные. Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение у = С, указанное выше (при С1 = 0, С2 ≠ 0).

Далее мы рассмотрим наиболее употребимый в математических приложениях вид дифференциальных уравнений второго порядка.

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора.

 Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

  Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

 Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Функция f(x) = ex.

 Находим: f(x) = ex, f(0) = 1

f¢(x) = ex, f¢(0) = 1

……………………

f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1

Тогда: 

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

 Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.

Если   , то

 Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма  стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

 Обозначение :


Основы дифференциального исчисления