Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Основы математики Вычисление интеграла

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 5. Дифференциальное уравнение вида

где f1(x) и f2(y) — непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель зависит только от х, а другой — только от у. Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных. Запишем производную у' в ее эквивалентной форме как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной , умножим обе части уравнения (9.3) на dx и поделим обе его части на f2(y), полагая, что f2(у) ≠ 0; получаем

Схема вычисления производной. Вычисление производной функции  у=f(x)  производится по следующей схеме: Находим приращение функции на отрезке :

В этом уравнении переменная у входит в левую часть, а переменная х — только в правую, т.е. переменные разделены. Пусть у = φ(x) является решением уравнения (9.3), тогда при подстановке этого решения в уравнение (9.4) получаем тождество: два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную x, а в левой части — через функцию у. Поскольку дифференциалы равны, то их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину, т.е., интегрируя слева по переменной у, а справа по переменной х, получаем

где С — произвольная постоянная.

Рассмотрим примеры решения уравнений методом разделения переменных.

Пример 1. ху' — у = 0, найти частное решение при начальных условиях у0 = 2 при x0 = -4.

Решение. Разделим переменные, для чего перенесем у в правую часть, поделим обе части полученного уравнения на ху и умножим их на dx; получим

Интегрируя обе части этого уравнения (правую по x, а левую по у), имеем

где С — произвольная постоянная. При потенцировании получаем

что эквивалентно уравнению у = ±Сх, или у = С1х. Полученная функция представляет семейство интегральных кривых. Для выделения частного решения при указанных начальных условиях подставим в эту формулу х = -4 и у = 2, откуда получим значение для С: С = -1/2. Окончательно частное решение имеет вид

Пример 2. у' = х, найти частное решение, проходящее через точку (0,1).

Решение. Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах

Интегрируя, имеем

где С — произвольная постоянная величина. После интегрирования (интеграл в правой части берется при помощи замены переменной) имеем уравнение семейства интегральных кривых

Выделение частного решения, проходящего через точку (0, 1), приводит к определению произвольной постоянной: С =, т.е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака)

9.3. Неполные уравнения

Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (9.1) имеет вид

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции f(у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):

В общей теории дифференциальных уравнений развита теория качественного анализа, основанная на исследовании характера стационарных точек.

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

  Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

 


 a x a x a x

 Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

  Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

 Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то

 Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

  Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

 Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.


Основы дифференциального исчисления