Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Основы математики Вычисление интеграла

Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение и необходимые условия существования локального экстремума

Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М0 (x0, у0) — некоторая точка этого множества.

Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M0, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M0) (f(М) ≥ f(М0)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично. Интегралы Задача . Вычислить .

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции z = f(M) — f(М0) удовлетворяет одному из условий в окрестности точки M0:

Δz ≤ 0, если M0 — точка локального максимума;

Δz ≥ 0, если M0 — точка локального минимума.

Теперь установим необходимые условия существования локального экстремума.

ТЕОРЕМА 2. Если функция z = f(x, у) имеет в точке M0 (x0, y0) локальный экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю:

Для случая функции двух и более переменных необходимое условие существования локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.10); все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке M0.

Следует особо отметить, что условия (8.10) не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции z = х2 — у2 частные производные равны нулю в точке O(0, 0), однако в этой точке функция (которая является уравнением гиперболического параболоида) не имеет экстремума: f(0, 0) = 0, но в любой окрестности точки О есть значения функции как положительные, так и отрицательные.

Точки, в которых выполняются условия (8.10), называются точками возможного экстремума, или стационарными точками.

Рассмотрим задачи на отыскание возможного экстремума функций.

Ррешение. Согласно условиям (8.10) имеем  = 0 и  = 0, откуда получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Решение этой системы х = 1, у = 2, т.е. точка с координатами (1, 2) является стационарной для данной функции двух переменных.

Решение. По условию (8.10) все три первые частные производные функции равны в этой точке нулю, откуда получаем систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными

Решение этой системы дает единственную стационарную точку возможного экстремума: (3, -4, 2).

Достаточные условия существования локального экстремума

Рассмотрим случай функции двух переменных z = f(x, y), часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные этой функции , , в некоторой точке M0 через а11, a12, a22 соответственно. Тогда достаточное условие локального экстремума формулируется следующим образом.

ТЕОРЕМА 3. Пусть в точке М0(х0, у0) возможного экстремума функции и = f(x, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда если

то функция и = f(x, y) имеет в точке М0 локальный экстремум: минимум при а11 < 0 и максимум при а11 > 0. Если же а11а22 — a122 ≤ 0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке M0.

Пример 3. Найти точки локального экстремума и значения в них функции z = х3 — у3 — 3ху.

Решение. Сначала находим стационарную точку из условий  =  = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

решения которой дают координаты двух точек (0, 0) и (-1, 1). Найдем вторые производные:

откуда получаем Δ = а11a22 — а122 = -36xу — 9. В точке (0, 0) имеем Δ < 0, и, значит, в ней нет локального экстремума. В точке (-1, 1) получаем Δ = 27 > 0, т.е. в этой точке данная функция имеет локальный экстремум; поскольку а11 < 0, то это точка максимума. Значение  функции в ней: umax = f(-1, 1) = 1.

8.5. Применение в задачах экономики

Экстремум функции нескольких переменных

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике.

Прибыль от производства разных видов товара

Пусть x1, x2, …, xт. — количества производимых т разновидностей товара, а их цены — соответственно P1, P2, …, Pm (все Pi — постоянные величины). Пусть затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек

Тогда функция прибыли имеет вид

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных (8.11) при xi ≥ 0 (при отсутствии других ограничений)

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных хi

Система уравнений (8.12) реализует известное правило экономики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Решениями этой системы уравнений являются наборы, состоящие из т значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения решения системы уравнений (8.12) зависит от вида функции издержек и может быть достаточно сложным.

Приведем конкретный пример. Пусть производятся два вида товаров, обозначим их количества через x и у. Пусть P1 = 8 и Р2 = 10 — цены на эти товары соответственно, а С = х2 + ху + у2 — функция затрат. Тогда согласно (8.11) при x1 = х, x2 = y прибыль является функцией двух переменных:

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений

решением которой является точка (2,4). Поскольку

то найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен Пmах = 28.

 Пусть при х®а отношение  стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение  стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:

.

Теорема доказана.

 

Пример: Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;

;

Пример: Найти предел .

;

.

  Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

 Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

  Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

 Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.


Основы дифференциального исчисления