Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Основы математики Математический анализ

Применение производных в исследовании функций

Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций  при x  a есть неопределенность вида , если 

Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует. Числовые ряды. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

ТЕОРЕМА 1 (теорема Лопиталя*). Пусть функции f(x) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки a. Кроме того, пусть , причем g'(х) ≠ 0 в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения  (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

* Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704). 

Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если f'(x) и g'(х) удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(х).

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда х  (х  ± ).

Теперь рассмотрим примеры.

Пример 1.

Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .

Пример 2.

Пример 3.

Неопределенности вида

Будем называть отношение двух функций  при х  а неопределенностью вида , если , - или +. В этом случае правило Лопиталя остается справедливым при замене условия  на условие .

Пример 4.

Пример 5.

Другие виды неопределенностей

Неопределенности вида 0 ∙  и  —  можно свести к неопределенностям вида  и . Покажем это на примерах.

Пример 6. Найти предел  x ln x.

Решение. Здесь неопределенность вида 0 ∙ . Преобразуем функцию под знаком предела: х ln х =  и теперь уже имеем неопределенность вида  при х  0+. Теперь, применяя правило Лопиталя, получаем

Пример 7. Найти  (cosec x — ctg x).

Решение. Это неопределенность вида  — . Преобразуя функцию под знаком предела, получаем

Теперь это неопределенность вида  при х  0. Правило Лопиталя дает нам

Рассмотрим неопределенности вида 00, 1, 0, возникающие при вычислении пределов функций у = и(х)v(x). Неопределенности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 ∙ , уже рассмотренной выше, с помощью тождественного преобразования

Пример 8. Найти предел .

Решение. Это предел вида 00; используя формулу (5.1), имеем с учетом решения шестого примера

Пример 9. Найти предел

Решение. Это предел вида 1. Найдем предел функции у = ctg x ln(1 + x) при x 0. В соответствии с представлением (5.1) имеем следующую цепочку равенств:

Следовательно, искомый предел равен

5.2. Формула Маклорена

Разложение функций по формуле Маклорена

Одним из основных принципов математики является представление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и является реализацией этого принципа. Любые функции, дифференцируемые достаточное число раз в точке х = 0, могут быть представлены в виде многочлена некоторой степени. Многочлены же являются наиболее простыми элементарными функциями, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т.д.

* Колин Маклорен — шотландский математик (1698 — 1746).

Итак, функцию f(x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:

Формула (5.2) дает возможность разложить функцию f(x) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить f(x) в виде многочлена, коэффициенты которого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену о(xn).

Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.

Пример 1. f(x) = еx.

Решение. Поскольку (ex)(n) = eх, f(n)(0) = е0 = 1 для любого п, формула Маклорена (5.2) имеет вид

Формула (5.3) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем приближенное значение числа е ≈ 2,7182818 ....

Пример 2. f(x) = sin x.

Решение. Нетрудно проверить, что f(n)(x) = sin ; отсюда имеем

Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению

Пример 3. f(x) = cos x.

Решение. По аналогии с функцией синуса имеем , откуда получаем

Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена:

Пример 4. f(x) = ln (l + х).

Решение. Так как , то f(0) = 0, ; подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению функции ln (1 +x) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

Пример 5. f(x) = (1 + x)α, где α — вещественное число.

Решение. Производная n-го порядка имеет вид f(n)(x) = α (α - 1)( α - 2)... (α - n +1)(1 + x) α-n, т.е. f(n)(0) = α (α — 1)... (α - п + 1), и формула Маклорена для данной функции такова:

В частном случае, когда α = п — целое число, имеем f(n + l) = 0 и формула (5.7) переходит в формулу бинома Ньютона:

т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.

Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций

Формулы (5.3)-(5.7) представляют собой асимптотические формулы (или оценки) соответственно для функций eх, sin x, cos x, ln (l + x), (1 + x) α при x  0. Аналогичные разложения можно получить с использованием формулы (5.2) и для других функций. Асимптотические формулы эффективно применяются при вычислении пределов функций. Покажем это на примере.

Пример 6. Найти .

Решение. Применяя формулу (5.2) при п = 2, получаем

Асимптоты.

 При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

 Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

 Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

 Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

 Из определения асимптоты следует, что если или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

  Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через

элементарные функции.

 К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х) - многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

 Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

 Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

 Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:


Основы дифференциального исчисления