Атомная энергетика России Инженерная графика и машиностроительное черчение Математика Курс лекций и примеры решения задач Информатика Электротехника Физика курс лекций примеры решения задач
Математический анализ Применение производных в исследовании функций

Основы математики Математический анализ

Основы дифференциального исчисления

Понятие производной

Определение производной

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x0  Х произвольное приращение Δx так, чтобы точка x0 + Δx также принадлежала X. Тогда соответствующее приращение функции f(x) составит Δу = f(x0 + Δx) — f(x0).

Определение 1. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δx  0 (если этот предел существует).

Для обозначения производной функции употребимы символы у' (x0) или f'(x0):

Если в некоторой точке x0 предел (4.1) бесконечен:

то говорят, что в точке x0 функция f(x) имеет бесконечную производную. Некоторые элементы математической статистики Задачи математической статистики Первой задачей математической статистики является указание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений. Вторая задача — это разработка методов анализа статистических данных: оценки неизвестных вероятности события, а также функции и параметров распределения; оценка зависимости случайной величины от других случайных величин; проверка статистических гипотез о виде и величинах параметров неизвестного распределения. Рассмотрим некоторые из этих вопросов.

Если функция f(x) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f'(x) также является функцией от аргумента х, определенной на X.

Геометрический смысл производной

Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.

Определение 2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой f(x).

Пусть точка М на кривой f(x) соответствует значению аргумента x0, а точка N — значению аргумента x0 + Δx (рис. 4.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x0 необходимо, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси Оx. Из треугольника MNA следует, что

Если производная функции f(x) в точке x0 существует, то, согласно (4.1), получаем

Отсюда следует наглядный вывод о том, что производная f'(x0) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной к графику функции у = f(x) в точке М(x0, f(x0)). При этом угол наклона касательной определяется из формулы (4.2):

Физический смысл производной

Предположим, что функция l = f(t) описывает закон движения материальной точки по прямой как зависимость пути l от времени t. Тогда разность Δl = f(t + Δt) - f(t) — это путь, пройденный за интервал времени Δt, а отношение Δl/Δt — средняя скорость за время Δt. Тогда предел определяет мгновенную скорость точки в момент времени t как производную пути по времени.

В определенном смысле производную функции у = f(x) можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина f'(x), тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график f(x) и быстрее растет функция.

Правая и левая производные

По аналогии с понятиями односторонних пределов функции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке.

Определение 3. Правой (левой) производной функции у = f(x) в точке x0 называется правый (левый) предел отношения (4.1) при Δx  0, если этот предел существует.

Для обозначения односторонних производных используется следующая символика:

Если функция f(x) имеет в точке x0 производную, то она имеет левую и правую производные в этой точке, которые совпадают.

Приведем пример функции, у которой существуют односторонние производные в точке, не равные друг другу. Это f(x) = |x|. Действительно, в точке х = 0 имеем f’+(0) = 1, f'-(0) = -1 (рис. 4.2) и f’+(0) ≠ f’-(0), т.е. функция не имеет производной при х = 0.

Операцию нахождения производной функции называют ее дифференцированием; функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке устанавливает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно: функция f(x), непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке. Таким примером является функция у = |x|; она непрерывна в точке x = 0, но не имеет производной в этой точке.

Таким образом, требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, поскольку из первого автоматически вытекает второе.

Уравнение касательной к графику функции в данной точке

Как было указано в разделе 3.9, уравнение прямой, проходящей через точку М(x0, у0) с угловым коэффициентом k имеет вид 

Пусть задана функция у = f(x). Тогда поскольку ее производная в некоторой точке М(x0, у0) является угловым коэффициентом касательной к графику этой функции в точке М, то отсюда следует, что уравнение касательной к графику функции f(x) в этой точке имеет вид

Некоторые замечательные пределы.

Первый замечательный предел. , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an, 

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

Итого:

Второй замечательный предел.

Третий замечательный предел.

 Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

 Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

  Пример. Найти предел.

 Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на  и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют l и коэффициенты многочлена Q(x). Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.


Основы дифференциального исчисления